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辛几何不是什么微分几何的分支，你不懂不要胡说八道。辛几何，代数几何和微分几何是平行的三个数学分支。这是因为大部分人对微分几何的理解是很狭隘的，而中国大多数做微分几何的人也不了解辛几何。 什么Hamilton力学之类的玩意儿都是老黄历了，一开口就问本质明显是外行。要想理解一门学科，就要既能直观理解，又能抽象理解，为什么一上来就先要直观理解？对自己的要求是不是太低了？ 许多人自己学辛几何，一上来看到定义就懵逼了，因为除了个non-degenerate closed 2-form之外什么都没有，这个2-form甚至不必positive-definite，也就是说不必是个metric，简直不知道是什么意思。这也是我本科时候最早看到定义的反应。 实际上，要真正理解什么是symplectic manifold，就得理解什么是Kahler manifold，这和Gromov对现代辛几何的革命性想法也是一致的。因为辛流形上最重要的结构并不是定义里出现的辛结构，而是隐蔽在背后的近复结构。Gromov关键的观察之一是：和辛结构compatible的近复结构是大量存在的，以至于你可以非常自由地perturb它而不影响某些非线性微分方程定义的不变量。假如这个近复结构可积，就得到Kahler流形。 假如没有这个近复结构，那么辛几何永远也不会成为一个学科，因为这种几何结构看起来过于flexible，根本就没有研究它的工具。而近复结构恰恰提供了发展分析工具所需要的那一点点rigidity。这就是Gromov的伟大之处。 最具体的symplectic manifold的例子当然是symplectic vector space，这时的辛几何就是一些线性代数。 稍微复杂一点的是symplectic toric manifold/orbifold，这在代数几何上有个平行的理论，就是toric variety。在abelian Hamiltonian action情形，最重要的结果当然是Atiyah-Guillemin-Sternberg证明的moment polytope convex，这个结果告诉你toric manifold的研究可以reduce到跟 中的polytope相关的组合数学，这跟toric variety的理论完全是一致的。 再复杂一点的情况是symplectic manifold上有自然的fibration。最常见的是Lagrangian fibration和Lefschetz fibration。 上面所讲的toric manifold就可以视为Lagrangian fibration的特殊情形：在polytope的faces上，fiber是degenerate tori，而其他fiber都regular。更复杂的Lagrangian fibration会involve singular fiber，singularity可能非常复杂。而SYZ的猜想说，所有 的辛流形上都有Lagrangian torus fibration。虽然这个猜想基本上不可能被证明，可是Gross-Siebert发现，和确实存在Lagrangian fibration的情况一样，要理解这类symplectic Calabi-Yau manifold的几何也可以通过reduce到一个half-dimensional的singular affine manifold上来实现（上面所举toric manifold的例子中，convex polytope就是一个affine manifold with corners）。也就是说，就算我们找不到fibration，还是可以通过一些复杂的代数几何技术（toric degeneration）来找到所需要的combinatorial data，而这些combinatorial data就是SYZ猜想中假想存在的虚拟的Lagrangian fibration所应该给出的。这就是所谓的Gross-Siebert program。因此，SYZ猜想本质上是说，任何一个 的辛流形的几何学本质上和toric manifold差别不大，都可以reduce到组合数学。 辛流形上Lefschetz fibration的定义又要依赖于上面的almost complex structure。和代数几何版本的Picard-Lefschetz理论一样，是想用一个holomorphic Morse function（辛几何情形是关于近复结构 holomorphic）来extract流形的real data。在代数几何情形，这是一种理解代数簇的拓扑的方式，而在辛几何情形，这是理解辛拓扑的一种有效方式，因为现在fiber都是symplectic hypersurface，而vanishing cycle都是Lagrangian submanifold。Lefschetz fibration所能给出的具体信息包括一个distinguished basis of Lefschetz thimbles（可以在base 上画出来，就是一族从critical values出发，具有公共endpoint的曲线）和total monodromy。这时流形的几何也可以reduce到一些组合数学来研究。只不过和Lagrangian fibration情形不同，这时involve的东西是mutation和braid group action。这个理论背后也有相应的来自mirror symmetry的猜想，就是Kontsevich说，对于 的复流形，它们的mirror应该是Landau-Ginzburg model，而最简单的Landau-Ginzburg model就是Lefschetz fibration。 和Lefschetz fibration情形类似的对辛流形的几何学的组合数学描述可以被推广到其他symplectic fibration上，比如Lie algebra 上的adjoint quotient map，它是个Morse-Bott fibration且critical locus的normal bundle满足很好的性质，这时就可以定义所谓的relative vanishing cycle。Seidel和Smith通过研究nilpotent slice的辛几何重新定义了Khovanov homology。容易理解，虽然他们的做法和Khovanov完全不同，但是背后所包含的组合数学却是一致的。 Symplectic fibration和Lagrangian fibration的本质区别是：前者基本上是用complex fiber来foliate流形，因此重要的是它所带来的real data，即fiber里的vanishing cycles；而后者是用real fiber来foliate流形，因此重要的是它所包含的complex data，这就是为什么我们往往要count Lagrangian fiber所bound的holomorphic disc。这两种想法在辛流形是cotangent bundle的情形是可以被统一在一起的，详情见：The symplectic geometry of cotangent bundles from a categorical viewpoint。 能讲的东西还有很多。作为我而言，我是一个非代数几何学家，直观理解几何是我所擅长的事。俗话说细水长流，学问不可能一天两就传授给你们，今后有机会再慢慢说吧。
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