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在三十天冲刺（十九）——《函数的对称性周期性》中介绍了对称的一些知识，今天再重点把对称问题做一做，周期性我们以后再说. 函数对称主要包含两方面，第一是函数本身是轴对称或者中心对称图形，奇偶性为其中特殊的情况；第二两个函数关于轴或者中心对称，原函数和反函数的关系就是其中特殊的情况. 对称问题肯定离不开图象，不要和抽象的代数推导过不去，实在理解不了就代点、画图. 练习1： 答案：(-5,0)∪(5,+∞) 分析： 这题第一个做法是求出函数在x<> 第二个做法就是画出图象，可以直接看答案，能画图的题就一定要画图. 练习2： 答案：1 分析： 这道题涉及到两个问题，第一就是两个定义域的交集非空的奇函数或者偶函数的加减乘除之后构成的函数的奇偶性，有下面的结论： （1）奇函数加上（或减去）奇函数得到奇函数； （2）偶函数加上（或减去）偶函数得到偶函数； （3）奇函数乘以（或除以）偶函数得到奇函数； （4）奇函数乘以（或除以）奇函数得到偶函数； （5）偶函数乘以（或除以）偶函数得到偶函数. 注意上述的函数除以函数的时候，必须是在有意义的前提下. 比如这道题： 由所给信息，可以构造偶函数y=f(x)/x，可得其在(0,+∞)上为减函数，由f(1)=0以及对称性，可得选A. 而上述练习2的偶函数是一个奇函数y=x和另一个奇函数相乘得到的. 然后就是第二个问题，奇函数f(x)如果在x=0有意义，那么f(0)=0，代入x=0，解得a=1. 比如这道题： 有个隐蔽的信息就是f(0)=0，解得b=-1，所以选A. 但是一定要注意，不能说奇函数f(x)一定满足f(0)=0，比如f(x)=1/x；反过来就更不可以说了，满足f(0)=0的函数很多，不一定是奇函数. 比如这道题： 显然不能代x=0，但是可以代x=1和-1，作为小题，代数是最佳做法，其一般做法为 这个做法在大题中出现即可，但是现在高考大题出现这样的题的可能性也不大了. 再比如： 当x=0时，分子为2，分母为1-a，所以a必须为1，否则f(0)就有意义而且不为0，和奇函数矛盾了. 练习3： 答案：C 分析： 这是一个非常有意思的结论，任何一个定义域关于原点对称的函数f(x)，都可以写成一个奇函数[f(x)-f(-x)]/2和偶函数[f(x)+f(-x)]/2之和(证明略：只要把f(x)=g(x)+h(x)中的x换成-x即可）. 比如： 答案：D 分析： 由f(x)-g(x)=e^x可得f(-x)-g(-x)=e^(-x)，所以-f(x)-g(x)=e^(-x)，解得f(x)和g(x)即可. 如果原题是f(x)+g(x)=e^x，可以解得f(x)=[e^x-e^(-x)]/2,g(x)=[e^x+e^(-x)]/2，这两个函数的奇偶性我们已知，其单调性（通过求导）以及值域，大家都得会求，人教社B版教材上出现过这两个函数，在大学的时候这两个函数分别叫双曲正弦函数和双曲余弦函数，图象如下（蓝色的是双曲余弦函数）：
练习4：
答案：B C 分析： 在三十天冲刺（十九）——《函数的对称性周期性》已经对函数关于x=a对称和关于点(a,b)对称作过详细说明，在此就不赘述了. 第一题的两个函数都关于点(0,1)对称，所以它们的交点一定是成对出现的，一共有m/2对，每对的横纵坐标之和为2，所以总和为m. 第二题非常隐蔽，f(x)其实是由两个关于x=1对称的函数相加而得，后面括号里那个函数就是偶函数e^x+e^(-x)向右平移1个单位得到的，所以原函数关于x=1对称，所以零点只能为1. 再看这道题：
答案：16 分析： 原函数是四次项系数为-1的四次函数，关于x=-2对称，所以将其右移动两个单位，就得到四次项系数为-1的偶函数. 那么四次偶函数有什么特征呢？ 一般的：多项式函数如果是偶函数，那么奇次项系数为零；多项式函数如果是奇函数，那么偶数项系数为零.这个证明很简单，就不赘述了. 所以上述f(x)右移两个单位得到的函数为y=-x^4+mx^2+n，而原函数存在零点1和-1 ，所以新函数存在零点3和1，代入解得m=10,n=-9，设x^2=t，就可以求得原函数的最大值. 二次函数是轴对称图形，而三次函数是中心对称图形，这个我们后面再介绍，三次以上的多项式函数的对称性就不确定了. 练习5：
答案：B C 分析： 原函数和反函数的关系已经慢慢被淡化了，但是害怕偶尔来这么一下子，所以最基本的指数函数和对数函数的位置关系还是要很清晰. 上述第一题是把一个指数函数y=e^x上的点的纵坐标变为原来的一半，把它的反函数y=lnx上的点的横坐标变为原来的一半，得到的两个新函数仍然互为反函数； 第二题是y=2^x、它的反函数y等于以2为底x的对数、以及它们的对称轴同时右移1个单位. 两个图象如下所示，不用我解释，解法也就很明显了：
其中第2个我在三十天冲刺（一）——《小题快做1》中了给了快速的做法. |
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