2018高考数学100弹之第81弹：回归分析

把浩瀚的海洋装进我胸膛  即使再小的帆也能远航

       我们利用最小二乘法求散点(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(x_n,y_n),的线性回归方程y=bx+a，也就是希望(bx₁+a-y₁)²+(bx₂+a-y₂)²+ …+(bx_n+a-y_n)²取到最小值.

       然后对于绝大部同学来说，中间就省略了冗长的推导，直接得到：

       当然该公式也不要求记忆，所以大部分同学只是停留在会选择合适的公式然后代入求值的层面.

       但是如果稍微换一个考查方式，可能大家就会发懵，比如下面这道题：

（2016全国3）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

分析：

       该题中y_i具体的值未知，所以已给公式没法直接套用，必须用另一个公式，但是另一个公式记不住，也不会推导，所以这道题的确让很多同学栽了跟头.

       所以我们有必要把公式的证明以及两个公式的变换熟悉一下，教材的推导方法不太好想，我们来介绍一个简单点的：

       模拟卷上经常见到类似这样的题：

       求(b+a-2)²+(2b+a-3)²+(3b+a-5)²最小值.

分析：

       由最小二乘法，可得只需要求散点(1,2),(2,3),(3,5)的回归直线的系数b和a，就使得上式取到最小值.

       但是如果上式改成求(b+a-2)²+(2b+a-3)²+(3b+2a-5)²最小值，就没法利用最小二乘法来解决了.

       该题的一般做法是先把其看成关于a的二次函数，将a用b表示求最小值，代入，然后看成关于b的二次函数，再求最小值.

       一般地:

       此时

       又

       所以有：

       对于上述两个公式，一般数据较大的时候利用前者，数据接近0的时候用第二个.

       一组散点如果进行相同的平移，显然回归直线也跟着进行相同的平移，所以b不会改变，上述两个公式也反映了该关系.

       而且

       所以对于数据较大的时候，可以将数据处理之后变小，对x最好减去平均数，但是对y，就不一定要减平均数了，只要方便即可，比如：

(2011安徽）

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份	2002	2004	2006	2008	2010
需求量（万吨）	236	246	257	276	286

（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.

分析：

       对数据预处理如下：

年份减去2006	－4	－2	0	2	4
需求量减去257	－21	－11	0	19	29

       其中需求量平均数有小数，减去平均数不方便，所以减去257，当然也可以减去别的数，都不会影响求b的值.