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竖式谜有一些常规的分析方法和思路，可以帮助我们求解大部分竖式谜问题。有些难度大的竖式谜，其难度体现在求解过程更繁琐，更考验解题者对相关知识的运用熟练程度，但在方法和思路上并没有跳出原来的圈子。相对而言，能够体现新的方法和思路的竖式谜有更独特的价值。 虽然因为特殊原因，今年的“希望杯”未能如期举行，但因为是临考前才取消，所以试题都已经准备好了。今年四年级的第一试题目中，第20题是一道乘法竖式谜。这是一个挺特别的竖式谜。 之所以说它特别，是因为用基本的竖式谜解法很难把它解出来。先来看看题目。 解竖式谜的第一步，是把能根据简单关系直接填出来的数字先填上。多知道一个数字，就多一条分析线索。在这个竖式谜中，只有一个数字3能够很容易确定下来。 求解竖式谜的关键步骤是寻找突破口。通常第一个突破口找到以后，就能顺势找到更多的突破口。这个竖式谜的一个难点是两个乘数完全未知，没有提供任何一个位上的数字。包含最多信息的是最后的乘积“2018*”，只有个位数字空缺。但它除了帮助我们找到了一个数字3以外，似乎暂时也无法提供更多的信息了。除此以外，还包含已知信息的就是两个部分乘积“33**”和“16**”。这就是我们可以利用的突破口。 找到这个突破口需要利用乘法竖式的规则：两个部分乘积分别是第一个乘数和第二个乘数的个位和十位数字的乘积。换句话说，它们都是第一个乘数的倍数。不过，如果直接利用这个性质，需要尝试的可能性还是非常多。这里的巧妙之处是，根据这两个四位数的千位和百位数字，“33**”很可能是“16**”的2倍。当然，两个部分乘积不一定有倍数关系，但假如“33**”不恰好是“16**”的2倍，它也一定非常接近“16**”的2倍。再结合刚才提到的乘法竖式规则，不难发现两者只能是恰好2倍的关系。 现在，我们得到了一个非常有用的信息——第二个乘数的个位数字是十位数字的2倍。由此可直接推出第二个乘数只能是以下几个数之一：12,24,36,48。如果不怕麻烦，接下来就可以逐一枚举，使用常规的竖式谜推理完成求解。 然而这个结论实际上包含了更丰富的信息。因为我们可以确定第二个乘数一定是6的倍数，所以最后的乘积“2018*”也一定是6的倍数。根据3的倍数的性质，个位数字只能是1,4,7中的一个，再根据偶数的性质，个位数字就只能选择4了。于是，最后的乘积完全确定下来，就是20184。 既然知道了乘积和其中一个乘数，另一个乘数就可以用除法算出来。首先，20184÷12=1682。其次，因为1682既不是3的倍数，也不是4的倍数，所以可以推断20184肯定不能被36和48整除。同时，因为1682是四位数，不符合竖式谜的条件，所以第二个乘数只能是24，而第一个乘数则是1682÷2=841。 我们通常接触的竖式谜题目，求解过程用到的都是竖式运算的基本性质。这些练习虽然有助于我们更深刻理解竖式运算，但也容易固化对这类问题的印象，形成套路模式。这个竖式谜如果使用常规方法求解，虽然并非不可能成功，但分析过程将会非常曲折。上面的解法适当地引入了数论的基本知识，从而制造了第一个关键的突破口。随后的求解既可以使用常规的方法，也可以再结合数论知识，而后者相对更简洁直接。 这个竖式谜是非常有启发性的问题，其解法能够刷新我们对竖式谜问题的认知。数学之妙，就在于概念和方法能恰到好处地用在最合适的地方，最大限度地揭示问题的本质。 |
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