杂谈 · 层级题

34220180603周日作品《杂谈 · 层级题》

（秦中 朱校华 原创）

一、概述.

层级题，顾名思义指的是“一层一层地推进、一级一级地提升并灵活应用数学学科基础知识、基本技能、基本思想方法与基本活动经验的数学题”，一般综合性、发散性较强.

层级题，在近些年成为中考创新题之一，常占10或12分值，一般由浅入深或由简单到复杂编排，是衡量学生数学素能高低的“分水岭”，全国各省市中考命题者们乐此不彼.

层级题，一层层剥开，一级级上升，犹如上台阶，常规来讲：做完第（1）题再做第（2）题，后一题往往会用到前一题的结论. 对于数学素能方面要求甚高，值得拥有与掌握之.

比方说，2016年山东烟台中考有如下好题（有小改动）：

探索证明

（1）某班数学课堂学习小组对矩形内两条互相垂直的线段（端点在矩形的边上）与矩形两邻边的数量关系进行探索，提出下列问题，请你给出证明.

在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H.求证：

结论应用

（2）在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M、N分别在边BC、CD上，若，则的值为         .

联系拓展

在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值. 

二、秘笈.

结合九年级数学总复习，笔者与学生总结出解决“层级题”的三大秘笈：

第一秘笈：数学四基得熟透；

第二秘笈：特殊一般用不休；

第三秘笈：顺藤摸瓜猜思究.

其中：

第一秘笈是基础之基本：没有足够的数学四基，就没有一定的数学素养，接着面对考题就只能无从下手，后面第二秘笈与第三秘笈自然而然跟不上.

第二秘笈是方法之起步：层级题往往从特殊或者简单开始入门，伴随数学理论之渗透，后续一层比一层深，一级比一级奥，解题中务必两者相结合.

第三秘笈是手段之灵活：瓜是长在藤子上的，只有顺着藤子才能一步一步摸到瓜是真理之一.世界上没有难题，难就难在没有找到切入口导致失败.

层级题，本身就是综合题家族中的一员.

层级题，喜欢按部就班分成系列小题式.

层级题，需要的应是足够的耐心与小心.

学生对于层级题的解决，随着数学素能的高低不同，其解题得分的多少也相应不同：基本功好点的学生一般可以收获到前一个或二个小题的分数；喜爱思考的学生一般还可以收获到满分的七或八成的分数；思维谨密的学生一般能做到仅仅丢失1至2分.

层级题，往往置身于数学试卷最后一题，是拉开学生差距的重头题之一！

三、简析.

就拿上面提到的一道层级题来说.

分为三层：（一）探究证明、（二）结论应用、（三）联系拓展.

分为三级：（一）证明初级、（二）类比算级、（三）拓展比级.

第（1）小题属于书写证明过程层级题.

展示给学生独立思考后，第一反映的是“欲证线段成比例，最常用的是使用三角形相似判定与性质.”，采用“平移”变换，不难想到添加辅助线方法：过点A作AP∥EF交边DC于点P，过点B作BQ∥GH交边AD于点Q.目标是证明△ADP∽△BAQ，用“双角法”即可.

第（2）小题属于直接类比应用层级题.

从第（1）小题之一般性结论转入特殊化题图中，还是相似三角形性质的使用.确实应了那句话【数学活动经验】：后面的得用上前面的.值得注意的是：对应关系不可出错.

第（3）小题属于补全题图活用层级题.

解决本题最容易想到的是：将题图补全至第（1）小题图中来. 有学生反映：

在补全题图时，叙述不是非常清晰有把握. 这可以理解：因为近些年人教版数学教科书上已经将添加辅助线的样板例题渐渐地删的删了、简的剪了，没有榜样可依.需要执教一线的数学教师补上这一课咯！

可以这样叙述：过点D作ST垂直BC的延长线于点T，过点A作AS垂直DT于点S.

可以如此叙述：过D作ST∥AB交BC的延长线于点T，过A作AS∥BC交DT于点S.

还可这般叙述：过点D作ST垂直BC的延长线于点T，过A作AS∥BC交DT于点S.

也就是说：离不开“平行”或“垂直”两种作图，需要注意的是“不可同时满足两个条件”进行作图描述.这是必须过好的【数学言语表述】第一关！

联系第（1）题的结论，现在关键是求出线段CT的长，勾股定理派上后搞定！

四、变化.

（一）变背景一：

上面这道题背景图是矩形，假如强化变成正方形，可以变成如下题：

【变式一】

正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H.

（1）若EF⊥GH，求证：EF=GH；

（2）若EF=GH，求证：EF⊥GH.

（二）变背景二：

将两条相交的线段放在圆背景图中，则可以创编成如下变式题：

【变式二】

圆O中，弦EF⊥GH于点P，经过点P的直线交EG于点A、交HF于点B，连EH、GF.

（1）若PA是EG边上的中线，求证：PB是HF边上的高；

（2）若PA是EG边上的高，求证：PB是HF边上的中线.

（三）再特殊化：

将圆的特殊性（如垂径定理）再一次揉进来，有如下好题：

【变式三】

圆O中，非直径弦EF⊥GH于点P，连EG、EH、GF、FH并取其中点分别为A、D、B、C.

（1）若EF=GH，求证：四边形ABCD是正方形；

（2）若AC⊥BD，求证：EF=GH.

五、类似.

【朱校华原创20120428号题】

课本习题

（1）在正△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，AD=BE=CF，连DE、EF、DF.求证：△DEF是正三角形（友情提醒：本题不必证明！）.

拓展练习

（2）在正△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，AD=BE=CF，连AE、BF、CD分别交于点P、M、N.求证：△PMN是正三角形.

类比猜究

（3）正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=BF=CG=DH.连AF、BG、CH、DE依次交于点O、P、M、N.试探究：四边形OPMN是否是正方形？若是，请写出证明过程；若否，请简要说明理由.

实际应用

（4）在一个周长为24米的正六边形空地上，现要在每一条边的中点A、B、C、D、E、F上栽上一株景观树，试计算每两株景观树间距分别是多少？（温馨提示：可以尝试去计算其中的线段AB、AC、AD之长，其余线段的长则可以通过证明存在相等的数量关系搞定.）