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代数是高联四大模块中看似相对简单的模块之一，但其知识内容繁杂，涉猎广泛，一旦多个知识点交叉、变形，对于基础比较弱的同学来说就很棘手了... 为了帮助同学们更好的备考，我们特别邀请了爱尖子金牌教练崔伟文老师来给大家开了一场关于数学竞赛中代数问题学习方法建议的讲座，现将讲座内容整理成文字，希望能给同学们一些启发和借鉴，本文仅崔老师对代数学习的个人见解，如有不妥，欢迎指正~ 讲座正文如下： 《数学竞赛中代数问题学习方法建议》 主讲人：崔伟文 目录： 一、中学竞赛代数问题简介 二、中学竞赛代数问题学习规划及建议 三、代数问题训练方法 四、代数问题冲刺学习建议 五、常用书籍推荐 代数问题简介 中学竞赛中的代数是和高中课内知识结合最紧密的模块，课内学习的代数知识、解题能力是非常重要的数学基本功，而且也是解决其他问题的基础。 简单罗列一下，代数问题主要包括：函数、数列、三角函数、不等式、平面向量、复数、导数、多项式理论等。 需要注意两点： 第一，多项式理论是相对有深度的代数知识，往往和数论知识杂糅，难度较大，但高联中不会考，冬令营及以上的考试中才会出现； 第二，除多项式理论外，其它内容高中课内都会学习，只不过高联对这一部分的难度要求、熟练度要求都更高。 比如，数列部分 —— 课本学习要求仅包括基础的等差数列、等比数列、简单的一阶线性递推数列等，而在高联中，学生还需要掌握二阶线性递推数列、一阶分式递推数列等相关知识，形式变化更加多样，思路更加灵活。 三角函数部分 —— 和差化积和积化和差公式不在高考大纲内，但这两组公式，丰富了恒等变形公式的知识储备及常见变形结构，简化了学生的解题思路。这两组公式也是中学数学竞赛中非常重要的三角函数恒等变形公式。
以上提到的所有代数知识中，比较重要且常出现在考试中的，当属数列和不等式两个部分。这两部分内容涉及到的形式比较丰富，也容易和其它代数问题，甚至其它模块知识相结合。 如2017年高联第8题，就是一个相对复杂的数列问题，需要学生对递推数列的性质非常熟悉，同时能够快速、准确的进行分类讨论，以此给学生设置了一些推理和计算的障碍； 2017年高联第9、10题，都是关于不等式的问题，其中，第9题是一个带绝对值的含参不等式分析问题，重点考察学生不等式性质、函数性质的应用；第10题是一个非常标准的不等式放缩问题，应用的是柯西不等式、均值不等式这两个重要的不等式证明结构。 总结一下，代数的分支比较多，需要全面掌握，其中以不等式、数列两部分最为重要。 代数问题学习规划及建议
关于代数模块学习，首先要抓住一个核心 —— 重视基础，立足于课内和联赛一试。 高联考察的代数知识和课内的知识体系基本一致，所以竞赛中代数学习不能脱离课本。要全面、系统地掌握代数知识，灵活地把学到的方法应用到具体问题中去。 从学习进度上看，竞赛生最好能在高一入学前学完高中数学课内知识，掌握课内教授的核心方法和数学思想，这样既能为后续的学习打好基础，也能为高中竞赛学习留出足够时间。
当然这是比较理想的状态，引用一句名言，开始竞赛最好的时间是中考后，其次是现在。对于目前高一的同学来说，代数仍然是非常有价值的一个模块。 ① 结合课内进度及联赛一试的要求，练好代数基本功，熟练掌握所有相关知识、常用方法、常见题型等； ② 对于数列、不等式等重点内容，应有侧重的提升训练难度和强度； ③ 对于课内暂时没有讲到的内容，要尽快补充学习，保证知识上没有缺失。 这些训练是和课内紧密结合的，不像数论、组合难度那么大，同时也是课内知识的拓展与补充，对课内数学学习也有很大帮助。所以，这种学习安排，即使对于没有严格竞赛获奖计划的同学，也没有浪费时间，通过这个阶段的学习，可以拓展数学知识面，提升数学能力，探索自己是否适合投入更多精力来学习数学竞赛。如果感到有些困难，这部分的学习也可用于自主招生、三位一体等招生考试。 注意，刚开始学习的阶段，不建议同学们做超越联赛二试水平的训练，投入产出比 较低。 顺便纠正一个误区：想解决复杂问题，并不能通过训练更复杂的难题，而是应该把基础的、典型的问题做得更熟练，打牢基础，日积月累，厚积薄发。 所谓的复杂问题，无外乎是多种方法、多重知识杂糅而成，做过分复杂的问题反而容易陷入“偏难怪”，而忽略了真正重要的内容。 按照以上要求，到了高二后，学习规划会有一些分化： ① 对想入选省队，志在冬令营的同学，建议花一些精力系统地学习多项式相关理论，熟悉一下代数与数论相结合的问题，掌握解决此类问题的常用方法； ② 对于没有冲击省队计划的同学，大可不用在知识和方法层面上做过多拓展，更应该重视联赛要求的知识和方法，做到这些方法非常熟练，能够在更短的时间解决更多的基础和中等问题，提升自己在联赛一试中的竞争力。 ■ ■■■■ 下面具体说几点学习建议： 1、 要重视基础方法 我们以不等式为例，高联中的不等式证明问题，基本上只需要平均值不等式和柯西不等式就可以完成，偶尔需要简单的排序不等式，并不需要学生掌握很多很繁琐、复杂的不等式。 2016年加试第一题，就是一个用不等式解决的代数式最值问题。 这个问题其实不难，出题是奔着基础、送分的定位去设计的，解答只需要说明一下各个因式都是正数值，再用均值不等式放缩成关于2016个元整体的形式，最后利用二次函数的性质，就能够得到最大值。涉及到的方法都比较基础，但考场上很多同学做得很繁琐；即使做对的很多同学，也花费了非常多的时间。 很多学生在平时的学习、训练中，就沉迷应用像Muirhead（缪尔黑德/米尔海德）不等式这种结论非常强的不等式，但联赛中应用这样的不等式是需要证明的。这样的训练是有问题的，容易忽略基础的方法和变形技巧。 2、 要广泛做题，积累常见题型 平时题目做得多了，见识的题型和模型多了，考场上就比较容易对号入座，简化思考过程。如2016年联赛第10题， 题目是一个函数的形式， 3、 要提升熟练度 最典型的就是三角函数。三角函数公式非常多，而且很多公式也没有特别的记忆方式，只能死记硬背，而能够背诵、默写这些公式是解决三角函数问题的必要条件。 如2013年联赛一试第3题，其实是一个非常简单的基本贴近课内水平的问题，在面对这样问题的时候，除了会做之外，还应该做得快、做的对，这样才能在80分钟的一试考试中具有竞争力。 代数问题训练方法 关于代数问题的训练方法，简单说几个点： 1、要重视基础问题，基础方法，因为代数本身的定位，就是基础内容；（反复强调，非常重要） 2、要在平时训练中重视过程书写，完善自己的思路，提升思考速度和书写速度，这一点其实也主要是为了联赛一试服务的，一试时间紧，任务重。 3、 坚持每周一套一试训练 基于一试水平的问题，没有花哨的方法，最重要的就是多练习。提高一试无他，先做100套联赛一试模拟题去。可能有些简单粗暴，但并全无道理，个人建议每周不低于一套联赛一试模拟题的训练频率，严格限时完成，模拟考试状态。 4、 要坚持总结 这一点也是各个模块知识共通的。要善于从平时做题、经常犯的错误中发现、总结共性问题，并想办法通过一些有针对性的训练避免再犯、提升解题能力。 5、 不要过分关注“偏难怪”，性价比低，且容易钻牛角尖。 代数问题备考建议 下面针对马上就要来临的高联，给大家提一点备考建议。 1、高联一试：8个填空题，3个解答题，一般包括一个计数（或者概率）填空题，一个立体几何填空题，一个解析几何解答题，其余都是代数问题，考察面很广，三角、向量、复数、数列、不等式等都会涉及。 针对这样的特征，赛前应该保证规律的一试训练，全面提升，不留知识盲点，不能存在问题完全不了解，或不知道从哪个角度入手。对于数列、不等式等重点知识及不擅长的知识，做一些针对性训练，并提升训练强度。 总的来说，联赛一试是相对基础且贴近课本知识的考试，是一个偏向补短，而不是扬长的测试。
2、联赛二试：1道代数解答题，一般考察不等式、数列的比例最高，其应用的方法和一试所要求的没有太大差别，只是复杂度、综合性比联赛一试高出一个层面。这些内容可以随着基础方法熟练度的提升，自然而然的解决，因此二试训练适合在联赛一试熟练度较高的前提下，再做一些单独的训练。 3、插播一条，对于实力较弱，且参加今年9月高联的同学来说，代数和平面几何两个模块是非常建议考前突击的，相对来说难度较低，而组合和数论模块，如果没有基础的话，不建议短期内学习新知识新方法，很可能花费很多精力，收获却很少。 常用书籍推荐 最后简单说一下参考书。 由于代数的分支较多，内容相对也比较基础，市面上主流的系列教材、参考书都可以使用，个人比较推荐的是《奥林匹克小丛书》（即“小蓝本”）之平均值不等式与柯西不等式分册，讲得相对更系统一些，例题涉及的范围也更广泛全面；另外一本是浙江大学出版的《高中数学竞赛专题讲座》（ 俗称“小红皮”）之数列与归纳法分册。 左：《高中数学竞赛专题讲座》 右：《奥林匹克小丛书》 以上就是今天跟大家分享的数竞中代数学习方法。之前讲过的平几、组合模块的学习方法，建议同学多翻阅几遍（点击标题即可阅读）： |
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