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“圆”是初中数学最重要的知识点之一，纵观近几年中考数学，除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆的证明以外，常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质，往往这类题目中明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐形圆模型”，这一模型各省几乎每年中考都会出现。 类型一 四点共圆常用：圆内接四边形对角互补 同弦所对的圆周角相等 例1：如图 1，等边△ABC中，AB=6，P为 AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则 DE的最小值为？ 简答：因为∠PEC=∠PDC=90°，故四边形 PDCE对角互补，故 PDCE四点共圆，如图 2。∠EOD=2∠ECD=120°，要使得 DE最小，则要使圆的半径 最小，故直径 PC最小，当 CP⊥AB时，PC最短为3√3，则可求出DE=9/2。 例2：如图，正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转到正方形 APQR，连接 CQ，延长 BP 交于 CQ 于点 E，求证：E 是线段 CQ 的中点 简答：因为 AC=AQ，AB=AP 且∠BAP=∠CAQ（旋转角相等）故△APB∽△AQC，故∠ABP=∠ACQ ，又因为∠1=∠2，故 A、B、C、E 四点共圆（如图 2），因为∠ABC=90°，故 AC 是直径，故∠AEC=90°，又因为 AQ=AC，所以 AE 垂直且平分 QC（三线合一） 类型二 定义—动点到定点等于定长同一个端点处有多条相等线段时，要想到构造圆。 例:1：如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD= 度。 简答：如图 2，因为 AB=AC=AD，故 B、C、D 三点在以 A 为圆心的圆上，故∠CBD= 1/2∠CAD=38° 例2：如图 1，长 2 米的梯子 AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子 AB 的中点 P 的移动轨迹长度为？ . 简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P到定点O的距离始终等于1， 满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆心角为 90°，轨迹长度为四分之一圆的长度。 例3：如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF=2，G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？ 简答：G 的运动轨迹为圆，求 AP+PG 典型的“将军饮马”问题，故做 A 关于 BC 的对称点A＇，则 AP+PG=A＇P+PG，当 A＇、P、G 三点共线时，最短，又因为 A＇为固定点，G 在圆上运动，可知当 A＇、G、D 三点共线时， A＇G 最短，为 4 例4：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=7，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E为边 BC 上的动点，将△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是？ 简答：E 是动点，导致 EF、EC、EP 都在变化，但是 FP=FC=2 不变，故 P 点到 F 点的距离永远等于 2，故 P 在⊙F 上运动，如图 2。由垂线段最短可知，FH⊥AB 时，FH 最短， 当 F、P、H 三点共线时，PH 最短，又因为△AFH∽△ABC，所以 AF:FH:AH=5:4:3，又因为 AF=5，故 FH=4，又因为 FP=2，故 PH 最短为 2 类型三 直角所对的是直径
例1：如图 1，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段 CP 长的最小值为？
简答：如图 2，因为 AP⊥BP，∠P=90°（定角），AB=6（定弦），故 P 在以 AB 为直径的⊙H 上 ， 当 H 、 P 、 C 三 点 共 线 时 CP 最 短 ，HB=3，BC=4 则 HC=5， 故 CP=5-3=2 。 例2：在△ABC 中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O 为 AC 的中点,过 O 作 OE⊥OF,OE、OF 分别交射线 AB,BC 于 E、F，则 EF 的最小值为？
简答：因为∠EOF=90°，∠C=90°，故 C、O 均在以 EF 为直径的圆上（也称四点共圆），因为 EF 是圆的直径，O、C 均在圆上，且 OC 长度固定，要使得 EF 最短，则圆最小，要使圆最小，由于OC 为固定长度，则 OC 为直径时，圆最小，此时 CO=EF=OA=OB=5（斜边上中线等于斜边一半） 类型四 定弦对定角同弦所对的圆周角相等 同弦所对的圆周角等于圆心角的一半
例1：如图 1，△ABC为等边三角形，AB=2，若 P为△ABC内一动点，且满足∠APC=150°，则线段 PB长度的最小值为 。
简答：因为 AC定长、∠APC=150°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=150°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以 AC为边向下作等边△AOC，以 O为圆心，OA为半径作⊙O，P在⊙O上。当 B、P、O三点共线时，BP最短. 例2：如图 1 所示，边长为 2 的等边△ABC的顶点B 在 x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点 A在射线 OD上移动，则顶点 C到原点 O的最大距离为 。
简答：因为∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故 A、B、O三点共圆，圆心角为 60°，故以 AB为边向 O方向作等边△ABQ，∠AQB=60°为圆心角，Q为圆心，以 QA为半径作⊙ Q（ 如 图 2 ）， 可 知 当 OC⊥ AB时 ， OC距 离 最 大 。 “隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。 |
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