直角三角形中内切圆半径与三边之间的关系

已知：如图，在 Rt △ABC 中 ， ∠C = 90° ，a , b , c , 分别为 ∠A , ∠B , ∠C 所对应的边，⊙O 为 Rt △ABC 的内切圆 ，半径为r 。

求证：2r = a + b - c 。

图

证法一、(切线长的性质)：

过 ⊙O 分别作 OF⊥AC ， OE⊥BC ， OD⊥AB 垂足分别为 F 、E、D ，则有 OF = OE = OD = r

在 Rt △AOF 和 Rt △AOD 中 由勾股定理得 ：

AO^2 = AF^2 + OF^2 = AD^2 + OD^2

所以可得： AF = AD

同理可得：BD = BE

在 Rt △ABC 中

∵ a = CE + EB = r + BE ,

b = CF + FA = r + FA ,

c = AD + DB 。

∴ c = b - r + a - r = b + a - 2r

∴ 2r = a + b - c

证法二、（等积法）

连接 OA , OB , OC

S△ABC = 1/2 ab

S△OAB = 1/2 rc

S△BOC = 1/2 ra

S△COA = 1/2 rb

∵ S△ABC = S△OAB + S△BOC + S△COA

∴ 1/2 ab = 1/2 rc + 1/2 ra + 1/2 rb 即 ab = r ( a + b + c ）

∵ 在 Rt △ABC 中 a^2 + b^2 = c^2

∴ a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab 即 ( a + b )^2 - c^2 = 2ab

∴ （ a + b + c）( a + b - c ) = 2ab = 2r ( a + b + c )

∴ 2r = a + b - c