1、函数 一、函数的概念 定义:设 A 是非空数集,若存在对应关系 f,对 A 中任意数 x ( 对任意的 x ∈ A ),按照对应关系 f ,对应唯一一个 y ∈ R , 则称 f 是定义在 A 上的函数,表为 f :A → R . 数 x 对应的数 y 称为 x的函数值,表为 y = f ( x ) 。x 称为自变数,y 称为因变数。 数集 A 称为函数 f 的定义域,函数值得集合 f ( A ) = { f(x) ∣ x ∈ A } 称为函数 f 的值域 。 二、函数的四则运算 定义:设两个函数 f 与 g 分别定义在数集 A 与 B 。 1、若 A = B ,且 对任意的 x ∈ A ,有 f ( x ) = g ( x ) , 则称函数 f 与 g 相等,表为 f = g 。 2、若 A ∩ B ≠ ∅ ,则函数 f 与 g 的和 f + g , 差 f - g ,积 f · g ,分别定义为 : ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , x ∈ A∩B ; ( f - g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) , x ∈ A∩B ; ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ A∩B 。 3、若 (A∩B)- { x ∣ g(x) = 0 } ≠ ∅ , 则函数 f 与 g 的商 f /g 定义为 (f /g)(x) = f(x) / g(x) , x ∈ (A∩B)- { x ∣ g(x) = 0 } 。 三、函数的图象 设函数 y = f (x)定义在数集 A上 。 坐标平面上的点集 G(f) = { ( x , y ) ∣ x ∈ A , y = f (x) } 称为函数 y = f (x)在数集 A 上的图像,简称函数 y = f(x) 的图象。 例题1、y =sgnx (符号函数),对任意的 x ∈R , 都对应唯一一个 y 。 例题1图 四、数列 定义:定义在正整数集N+ 上的函数 f ( x)称为数列 。 对任意的 n ∈N+ , 设 f(n) = An , 即 A1, A2 , A3 , ... , An , ... An 称为数列的 第 n 项 或 通项 。 数列举例: 数列举例图 若 对任意的 k ∈ N+ , 有 A(k+1) - Ak = d ( 常数),A1 = a , 则称数列 {An} 是等差数列 , d 为 公差 ,即 a , a + d , a + 2d , ... , a + ( n - 1 ) d , ... 若 对任意的 k ∈ N+ , 有 A(k+1) = q Ak ( q 常数),A1 = a , 则称数列 {An} 是等比数列 ,q 为 公比 ,即 a , aq , aq^2 , ... , aq^(n-1) , ... |
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