勾股定理与最短路径问题 最短路径问题的核心理论是:两点之间线段最短,但在不同情形中,会以不同的方式出现,也就会涉及到不同的思路和方法,比如在【几何模型】“将军饮马”问题——作一首小诗这一讲中,主要利用到'两点之间线段最短'和'三角形两边之和大于第三边'(三角形的三边关系本质上还是'两点之间线段最短'),而这一讲,我们主要涉及到立体图形的最短路径问题。 一、立体图形的最短路径问题的解决思路
二、利用'横切',转换成平面图形 【例】 如图,有一个透明的直圆柱状的玻璃杯,现测得内径为5cm,高为12cm,今有一只14cm的吸管任意斜放于杯中,若不考虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度最少为多少? (注:内径即底面直径) 【分析】 若使吸管露出杯口最短,自然留在杯中最长,而最长莫过于下列情况: 这样,按照上图将圆柱'横切',就可以将其转换到RT△ACB中解决,而AB可有勾股定理解得:AB=13cm,所以吸管露出杯口的最短长度AD=BD-AB=1cm 【练习题】 如图,将一根25cm长的细木棒,放入长、宽、高分别为8cm、6cm、10cm的长方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长度是多少?(保留1位小数)。 三、利用'展开',转换成平面图形
【例】直面(正方体或长方体) 【分析】 研究在表面从点M到点C的最短路径,可以将正方体表面局部展开: 根据“两点之间线段最短',可知最短路径,即为线段MC。进而,在RT△CGM中,利用勾股定理,可求MC 【练习题】 【例】曲面(圆柱)如图,圆柱高15cm,底面半径为8/兀cm,一蚂蚁从B点爬到A点的最短路径为多少? 【分析】 请注意:此题的易错点是,很多同学直接连接AB,认为此时线段AB即为最短路径。拜托,你的蚂蚁会'穿墙术'吗? 这里是从圆柱表面爬行,即在曲面上爬行。也就是说,在'视觉上',蚂蚁是按照'曲线'爬行的(实际上,还是一条直线) 尽管如此,我们仍然可以把这个圆柱表面局部展开,可得:
根据'两点之间线段最短',可知最短路径,即为线段AB。进而,在RT△ACB中,利用勾股定理,可求最短路径AB长 【练习题】 如图,以A点环绕油罐建梯子,使它正好落在A点的正上方B点处,问梯子最短要多少米?(已知油罐底面半径为6/π m,AB为5m) |
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