Z_2拓扑不变量与拓扑绝缘体是什么意思？

题主你好。Z2群是有两个元素的群，它同构于同余群I2。在凝聚态物理里面，可以给Z2群赋予一个物理含义，那就是用来表征两类绝缘体：一个是普通绝缘体，另一个是拓扑绝缘体。这个工作是2005年时候Kane和Mele研究二维绝缘系统时候完成的。下面我结合自己看到的一些文献来谈一谈这两个问题。

其实对于凝聚态物理或者叫固体物理，其物理图像是很简单的。但是当研究一些特殊问题的时候，某些数学结构却让人称奇。比如说贝利相位和贝利曲率，它们居然能给出凝聚态物理的“规范理论”。而这套理论最大的特色就是把代数拓扑学引入了凝聚态物理。要知道，代数拓扑学一直被认为是规范场论和弦理论的“专有物”。不过话说回来，凝聚态物理和高能物理都是量子理论体系的两个小成员，它们本来就是一艘船上的，并没有“阳春白雪”和“下里巴人”之分。当然这是后话，我们先讨论一个极其重要的物理现象：量子霍尔效应。由于这个问题是题主这个问题的源头，故我简单介绍一下。量子霍尔效应是一种量子效应，它是和普通霍尔效应不同之处在于，它的霍尔电导率（电流密度除以霍尔电场强度）是离散取值的。这明显是一种相变，但是却不能用朗道相变理论来解释！因为这两种相之间不存在序的改变（对称性的改变）。这就导致需要发展超出朗道理论的相变理论。物理学家通过对有周期势的二维系统做计算，发现其实量子霍尔效应来自于布里渊区的拓扑性质。而这种性质和贝利相位有关。用物理学的语言解释贝利相位，就是存在一个场，其通量的负值就是贝利相位。但是我们这里要强调的是用数学语言来描述：贝利相位是一个规范场的第一陈数相反数!

现在的问题是，量子霍尔效应不具有时间反演不变性。如果系统具有时间反演不变性，那么会怎么样？很明显这时候不存在电流，霍尔电导率等于零（绝缘体）。这时候用贝利相位或者第一陈数就不能描述了。这个问题这贝利（1984年）提出贝利相位之后20年（2005年）被解决。思路是从时间反演算符入手。仿照贝利相位的计算，定义一个反对称矩阵，记作T，求它的Pfaffian（其平方等于T的行列式），记作P(k),k是波矢。经过计算，可以发现，在半个布里渊区域内P(k)的零点（离散分布）个数奇偶性，或者是P(k)在半个布里渊区边界上符号改变次数2N中N的奇偶性，就是Z2拓扑不变量：当其为偶数的时候——拓扑平庸，对应普通绝缘体；当其为奇数的时候——非拓扑平庸，对应拓扑绝缘体。而这个Z2拓扑不变量有很多理解方式。另一种是2006年提出的，用自旋反演极化来理解该拓扑不变量。还有就是考虑边界态的个数来理解。但我个人认为，在这些理解其实不重要，毕竟拓扑不变量是需要通过计算才能说明的。此外，也有用非阿贝尔规范场和威尔逊圈的思路去解释的，这个是很有意思——至少和我主攻的对象很接近。