(1)定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集. (2)符号表示:全集通常记作U. 疑难解析: 对全集概念的理解 “全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题来加以选择的.例如:我们常把实数集R看作全集,而当我们在整数范围内研究问题时,就把整数集Z看作全集. 补集的概念和性质 疑难解析 理解补集应关注三点 (1)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念. (2)∁UA包含三层意思:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合. (3)若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一. [例1] (1)(广东高考)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)= ( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} (2)设U={x|-5≤x<><> [解析] (1)A∪B={x|x≤0,或x≥1}, 所以∁U(A∪B)={x|0<><> (2)法一:在集合U中, ∵x∈Z, 则x的值为-5,-4,-3,3,4,5, ∴U={-5,-4,-3,3,4,5}. 又∵A={x|x2-2x-15=0}={-3,5}, ∴∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}. 求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求,从全集U中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集. 例题:已知全集U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},求集合B. 解:∵A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, ∴U={1,2,3,4,5,6,7}.又∵∁UB={1,4,6}, ∴B={2,3,5,7}. 解题技巧 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错. (2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 练习: 已知全集U={x|x<> ∁U(A∪B),∁U(A∩B),(∁UA)∩(∁UB),(∁UA)∪(∁UB). 解:∵A∪B={1,2,3,4,5,8}, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ∴∁U(A∪B)={6,7,9}. ∵A∩B={5,8}, ∴∁U(A∩B)={1,2,3,4,6,7,9}. ∵∁UA={1,3,6,7,9},∁UB={2,4,6,7,9}, ∴(∁UA)∩(∁UB)={6,7,9}, (∁UA)∪(∁UB)={1,2,3,4,6,7,9}. 说明:作出Venn图,如图所示,由图形也可以直接观察出来结果. 解题技巧 利用补集求参数应注意两点 (1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形. (2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. 练习题: 已知集合A={x|x<><-1,或x>0}.若A∩(∁RB)=∅,求实数a的取值范围.-1,或x> 解:∵B={x|x<-1,或x>0},-1,或x> ∴∁RB={x|-1≤x≤0}, 因而要使A∩(∁RB)=∅,结合数轴分析(如图), 可得a≤-1. 即实数a的取值范围是{a|a≤-1}. 1.补集思想的综合应用 [典例] (12分)已知集合A={x|x2-4x+2m+6=0},B={x|x<> 练习: |
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