立体几何最值问题求解策略

最值问题一直是高中数学的重点和热点问题，当然，也是历年高考试题都要涉及的题目。在立体几何中，计算几何体的最值往往有两种方法：一是利用函数及重要不等式，二是利用化归转化思想将立体几何中的极值问题转化为平面几何中的极值问题。另外，解决几何体的相切、相接问题的关键是注意两个几何体之间的等量关系。本文举例说明立体几何中的最值问题的求解策略。

一. 利用三角函数求最值

例1. 已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面的菱形，且平面ABB₁A₁⊥平面ABC，M是A₁B₁上的动点。试求使二面角A₁�BM�C的平面角最小时的三棱锥M�A₁CB的体积。

分析：要使二面角A₁�BM�C的平面角最小，必须先构建其平面角，如何构建？如图所示，取AB中点O，在MB上找一点P，因为CO垂直MB，剩下的问题只要使OP垂直于MB即可。这样MB就垂直于平面CPO，则∠OPC就是所求的平面角。在Rt△COP中就转化为求OP的最大值的问题，易发现此时点P即为点B，点M为线段A₁B₁的中点。

解：取AB中点O，过O作OP⊥BM，垂足为P，连结CP。

∵AB是平面A₁B与平面ABC的交线，CO⊥AB，且平面A₁B⊥平面ABC

∴CO⊥平面A₁B

，因此

，∠OPC即为的平面角。

在Rt△COP中，

CO为定长，∠OPC为最小，即OP为最大。

当且仅当P与B重合时，OP最大，此时M点为A₁B₁的中点，BM⊥AB。

解后反思：本题是一道探索性题，确定动点M使所求二面角最小的位置是关键。在求体积的过程中运用了等积变形。

二. 利用均值定理求最值

例2. 在棱长为a的正方体OABC�中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。

（1）求证：；

（2）当三棱锥B”�BEF的体积取得最大值时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）。

（1）证明：连结OF、CE、A”O，如图所示。

∵AE=BF

∴EB=CF

又OC=CB，∠OCF=∠CBE

因此，

又∵EB⊥平面BC”，C”B⊥B”C

∴C”E⊥B”C

又因为A”O//B”C，所以C”E⊥A”O

而

所以

（2）解：设EB=y，BF=x，边长为a，则

三棱锥的体积

当且仅当时等号成立

因此，三棱锥的体积取得最大值时

过点B作BD⊥EF交EF于D，连结B”D，可得

∴

在Rt△BEF中，直角边，BD是斜边上的高，则，。

∴二面角的大小为。

解后反思：如果函数解析式符合基本不等式条件（或可以转化为基本不等式形式），可以用基本不等式定理（均值定理）求解。（均值定理的条件是“一正，二定，三相等”）

三. 利用二次函数求最值

例3. 如图所示，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若。

（1）求MN的长；

（2）当a为何值时，MN的长最小？

解：（1）作MP//AB交BC于点P，NQ//AB交BE于点Q

连结PQ，依题意可得MP//NQ

且MP=NQ，即MNQP是平行四边形

如下图所示，则MN=PQ。

由题意知，

则

即

（2）由（1）知，

所以，当时，

即M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为