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上节我们学习了反常积分(广义积分)的概念性质等。本章中我们将应用前面学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅仅在简历计算这些几何、物理量的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法。 定积分的应用中，经常采用所谓微元分析法。为了说明这种方法，定积分所计算的是某函数改变量，如曲边梯形的面积是面积函数该变量，弧长是弧长函数该变量，所用方法是分割、近似、求和、取极限这四步法，即
这四步法中的关键是分割与近似，从微分式与积分式的等价性来看；若f(x)在[a,b]上连续，则 dF(x)=f(x)dx(任意x∈[a,b])→∫f(t)dt(上限x下限a)=F(x)-F(a)(任意x∈[a,b]) 这四步法归结为两步： 第一步：求出F(x)的微分式dF(x)=f(x)dx,其中f(x)是已知的，F(x)是要求的； 第二步：将微分式积分，即F(b)-F(a)=∫f(x)dx(上限b下限a). 怎样写出F(x)的微分式，常用的方法是微元分析法；任取微元区间[x.x+△x],求出 △F(x)=F(x+△x)-F(x)≈f(x)△x. 当△x→0时上面的近似式转化为等式，即dF(x)=f(x)dx. 列1.求一块铅直平板如图5.1所示在某种液体(比重y)中所受的压力。
解：液体中深度为h处所受的压强为p=hy，从深度为a到x之间平板所受的压力记为P(x),任取[x,x+△x]上小横条，所受压力为△P=P(x+△x)-P(x)≈xy*c△x. 令△x→0，得dP(x)=xycdx.于是，总压力为 P=∫xycdx(上限b下限a)=yc/2(b^2-a^2) =y*1/2(a+b)c(b-a)=y*矩形中心的深度*矩形的面积。 注意：近似公式△F≈f(x)△x转化为等式dF(x)=f(x)dx的关键是：△F与f(x)△x的误差是△x的高阶无穷小(△x→0时)。 一元函数积分学的几何应用 一.平面图形的面积 1.直角坐标系中的平面图纸 设f(x),g(x)在[a,b]连续，则由曲线y=f(x),y=g(x)及直线x=a,x=b(a<> 特别地，若f(x)≥g(x)(任意x∈[a,b])如图5.3，则S=∫[f(x)-g(x)]dx(上限b下限a) 若g(x)=0,如图5.4，则S=∫f(x)dx(上限b下限a)
2.极坐标系中的平面图形
3.边界曲线方程由参数方程给出的情形
1.当曲边梯形的曲边y=f(x)(f(x)≥0，x∈[a,b])由参数方程x=φ(t),y=φ1(t),给出时，若x=φ(t)合适：φ(x1)=a,φ(x2)=b,φ(t)在[x1,x2](或[x2,x1])上有连续导数且φ'(t)不变号，φ1(t)≥0连续，则曲边梯形的面积为(如图5.9)
二.平面曲线的弧微分与弧长
三.平面曲线的曲率 1.设C是光滑曲线(每一点处都有切线且随切点的移动而连续移动)y=f(x)，选定一端点作为度量弧s的基点。曲线上每一点M就对应有弧长为s，点M切线的倾角(如图5.10(a)或5.10(b))为a=a(s),称 K=Ida/dsI 为平面曲线C在点M的曲率，ρ=1/K为C在点M的曲率半径。在点M处的曲线C的法线上，在凹的一侧取一点D，使得IDMI=ρ=1/K，以D为圆心，ρ为半径作圆，这个圆叫做曲线C在点M的曲率圆，圆心D叫做曲线C在点M的曲率中心
由此可知，曲线C在点M处与其曲率圆有相同的切线和曲率，且在点M邻近处有相同的凹凸性。 注意：对于凸函数，它的凹的一侧即切线的下方一侧；对于凹函数，它的凹的一侧即切线的上方一侧 2.曲率的计算公式
四.空间图形的体积
五.旋转面的(侧)面积
定积分的几何应用五大板块，分别是平面图形的面积、平面曲线的弧微分与弧长、平面曲线的曲率、空间图形的体积、旋转面的(侧)面积，这是在几何应用上常考的5种知识点当然这仅仅是对考研的学子进行提醒。必须要掌握这5大板块。对于大学里面的高等数学，只需要掌握曲率以及极坐标的知识点就可以了。 没点关注点下关注了，收藏并分享下，相信会对你们有所帮助的。 下节课讲定积分在物理学上的应用。 |
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