【原】组合平均不等式与倒数组合平均不等式

一、组合平均值的定义：

用V(n,k)表示n个正数{ai}的k次对称多项式，用C(n,k)表示组合数，则

[V(n,k)/C(n,k)]^1/k 称为n个正数{ai}的组合平均值。

 

二、组合平均不等式：

V(n,1)/C(n,1)≥[V(n,2)/C(n,2)]^1/2 ≥…………≥[V(n,n-1)/C(n,n-1)]^1/(n-1) ≥[V(n,n)/C(n,n)]^1/n.

仅ai全等时，等号才成立。

三、倒数组合平均值的定义：

用L(n,k)表示n个正数{ai}倒数的k次对称多项式，用C(n,k)表示组合数，则

[L(n,k)/C(n,k)]^-1/k 称为n个正数{ai}的倒数组合平均值。

 

四、倒数组合平均不等式：

[L(n,n)/C(n,n)]^-1/n≥[L(n,n-1)/C(n,n-1)]^-1/(n-1) ≥………≥[L(n,2)/C(n,2)]^-1/2≥[L(n,1)/C(n,1)]^-1.

仅ai全等时，等号才成立。

五、幂根组合平均值的定义：

用V(n,k,x)表示n个正数{ai}x次方的k次对称多项式，用C(n,k)表示组合数，则

A(n,k,x)=[V(n,k,x)/C(n,k)]^1/(kx) 称为n个正数{ai}的幂根组合平均值。

 （1）x=1，即为组合平均值；

（2）x=-1，即为倒数组合平均值；

（3）x=0，即为几何平均值；

（4）A(n,k,x)为单调递增函数。