轴对称的妙用之对称点坐标求法 在平时的练习或考试中,同学们或许时常遇到这样的问题:在平面直角坐标系中,将某点关于一直线对称(或图形沿直线翻折),求对称点坐标。本文将此类问题归结为对称点坐标求法,并介绍两种解决此类问题的通法。 【例1】如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,2),B(2,0),C(0,4),求点A关于直线BC的对称点A'的坐标. 【解法一】(构造K字型) 第1步:过点A分别作x轴,y轴的平行线,交对称轴于点F, E,连接A'E,A'F。(这样做的目的是构造一个“斜直角”,即∠A‘=90°) 第2步:过点A’作y轴的平行线,交AF的延长线于H,过点E作A'H的垂线,垂足为K。(这样做的目的是构造矩形,并在矩形内构造“K字型”相似,即矩形大法) 第3步:构图完毕后,接下来是一番计算,首先求出直线BC 的解析式:y=-2x+4,其次分别求出E点,F点坐标,令x=-1,解得y=6,即E(-1,6);令y=2,解得x=1,即F(1,2),接着计算出AF=1+1=2,EA=6-2=4, 且EA:FA=EA‘:FA'=1:2.(这样做的目的是为“K字型”计算做准备) 第4步:万事俱备,只欠东风了。接下来对“K字型”进行字母表示。 ∵△EKA'∽△A'HF,且相似比为2, ∴设FH=a, 则KA’=2a, ∵KH=EA=4,∴A'H=4-2a, ∵EK=2A'H,∴EK=8-4a ∵EK=AH,且AH=1+1+a ∴8-4a=1+1+a,解得a=1.2 ∴A’的横坐标=1+1.2=2.2 ,A‘的纵坐标为6-2a=3.6 即 A’(2.2,3.6) 【解法二】(解析法) 第1步:求出BC的解析式:y=-2x+4 第2步:因为两直线垂直, k1·k2 =–1,这里k1=-2, 所以k2 =0.5,所以设直线AA‘的解析为y=0.5x+m,将A(-1,2)代入,解得m=2.5.即直线AA'的解析式为y=0.5x+2.5 第3步:求直线BC与直线AA’的交点P的坐标。 -2x+4=0.5x+2.5, 解得x=0.6, 代入直线解析式解得 y=2.8 即P(0.6,2.8) 第4步:因为P为AA'的中点,利用中点坐标公式: 即 A’(2.2,3.6) 解题感悟 本例题介绍了求对称点坐标的两种通法,其中方法一是构造矩形,然后在矩形内构造“K字型”相似,也称作矩形大法,其优点在于计算相对简便,但在实战中构图及用字母表示相关线段是难点;方法二是解析大法,其优点是思路简单,条理清晰,但计算量相对较大,且有超纲之嫌(其中用到的两直线垂直K为负倒数;中点坐标公式都是教材外的内容)。希望同学们两种方法都能掌握,尤其是矩形大法,在很多场合都大有作为! 有道是: 对称坐标怎么求, 巧构矩形和K型。 解析大法思路清, 二者兼会更放心。 |
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来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》