2018中考数学试题分类汇编:考点26正方形
一.选择题(共4小题)
1.(2018?无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tanAFE的值()
A.等于 B.等于
C.等于 D.随点E位置的变化而变化
【分析】根据题意推知EFAD,由该平行线的性质推知AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答.
【解答】解:EF∥AD,
AFE=∠FAG,
AEH∽△ACD,
==.
设EH=3x,AH=4x,
HG=GF=3x,
tan∠AFE=tan∠FAG===.
故选:A.
2.(2018?宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EGAB.EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于()
A.1 B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的性质,解决问题即可;
【解答】解:四边形ABCD是正方形,
直线AC是正方形ABCD的对称轴,
EG⊥AB.EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为G,I,H,J.
根据对称性可知:四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,
S阴=S正方形ABCD=,
故选:B.
3.(2018?湘西州)下列说法中,正确个数有()
对顶角相等;
两直线平行,同旁内角相等;
对角线互相垂直的四边形为菱形;
对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得答案.
【解答】解:对顶角相等,故正确;
两直线平行,同旁内角互补,故错误;
对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故错误;
对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故正确,
故选:B.
4.(2018?张家界)下列说法中,正确的是()
A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
B.对角线相等的平行四边形是正方形
C.相等的角是对顶角
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可.
【解答】解:A、两条平行线被第三条直线所截,内错角才相等,错误,故本选项不符合题意;
B、对角线相等的四边形是矩形,不一定是正方形,错误,故本选项不符合题意;
C、相等的角不一定是对顶角,错误,故本选项不符合题意;
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等,正确,故本选项符合题意;
故选:D.
二.填空题(共7小题)
5.(2018?武汉)以正方形ABCD的边AD作等边ADE,则BEC的度数是30°或150°.
【分析】分等边ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得.
【解答】解:如图1,
四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形,
AB=BC=CD=AD=AE=DE,BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AED=∠ADE=∠DAE=60°,
BAE=∠CDE=150°,又AB=AE,DC=DE,
AEB=∠CED=15°,
则BEC=∠AED﹣AEB﹣CED=30°.
如图2,
ADE是等边三角形,
AD=DE,
四边形ABCD是正方形,
AD=DC,
DE=DC,
CED=∠ECD,
CDE=∠ADC﹣ADE=90°﹣60°=30°,
CED=∠ECD=(180°﹣30°)=75°,
BEC=360°﹣75°2﹣60°=150°.
故答案为:30°或150°.
6.(2018?呼和浩特)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AMAB,CBE由DAM平移得到.若过点E作EHAC,H为垂足,则有以下结论:点M位置变化,使得DHC=60°时,2BE=DM;无论点M运动到何处,都有DM=HM;无论点M运动到何处,CHM一定大于135°.其中正确结论的序号为.
【分析】先判定MEH≌△DAH(SAS),即可得到DHM是等腰直角三角形,进而得出DM=HM;依据当DHC=60°时,ADH=60°﹣45°=15°,即可得到RtADM中,DM=2AM,即可得到DM=2BE;依据点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AMAB,可得AHM<∠BAC=45°,即可得出CHM>135°.
【解答】解:由题可得,AM=BE,
AB=EM=AD,
四边形ABCD是正方形,EHAC,
EM=AH,AHE=90°,MEH=∠DAH=45°=∠EAH,
EH=AH,
MEH≌△DAH(SAS),
MHE=∠DHA,MH=DH,
MHD=∠AHE=90°,DHM是等腰直角三角形,
DM=HM,故正确;
当DHC=60°时,ADH=60°﹣45°=15°,
ADM=45°﹣15°=30°,
Rt△ADM中,DM=2AM,
即DM=2BE,故正确;
点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AMAB,
AHM<∠BAC=45°,
CHM>135°,故正确;
故答案为:.
7.(2018?青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为.
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明ABE≌△DAF得ABE=∠DAF,进一步得AGE=∠BGF=90°,从而知GH=BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
【解答】解:四边形ABCD为正方形,
BAE=∠D=90°,AB=AD,
在ABE和DAF中,
,
ABE≌△DAF(SAS),
ABE=∠DAF,
ABE+∠BEA=90°,
DAF+∠BEA=90°,
AGE=∠BGF=90°,
点H为BF的中点,
GH=BF,
BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3,
BF==,
GH=BF=,
故答案为:.
8.(2018?咸宁)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为(﹣1,5).
【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标,再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标.
【解答】解:如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线EG,垂足为G,连接GE、FO交于点O′.
四边形OEFG是正方形,
OG=EO,GOM=∠OEH,OGM=∠EOH,
在OGM与EOH中,
OGM≌△EOH(ASA)
GM=OH=2,OM=EH=3,
G(﹣3,2).
O′(﹣,).
点F与点O关于点O′对称,
点F的坐标为(﹣1,5).
故答案是:(﹣1,5).
9.(2018?江西)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为2或2或﹣.
【分析】根据正方形的性质得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,ABC=90°,根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD,画出符合的三种情况,根据勾股定理求出即可.
【解答】解:四边形ABCD是正方形,AB=6,
AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,ABC=∠DAB=90°,
在RtABC中,由勾股定理得:AC===6,
OA=OB=OC=OD=3,
有三种情况:点P在AD上时,
AD=6,PD=2AP,
AP=2;
点P在AC上时,
设AP=x,则DP=2x,
在RtDPO中,由勾股定理得:DP2=DO2OP2,
(2x)2=(3)2(3﹣x)2,
解得:x=﹣(负数舍去),
即AP=﹣;
点P在AB上时,
设AP=y,则DP=2y,
在RtAPD中,由勾股定理得:AP2AD2=DP2,
y262=(2y)2,
解得:y=2(负数舍去),
即AP=2;
故答案为:2或2或﹣.
10.(2018?潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB''C′D′的位置,B''C′与CD相交于点M,则点M的坐标为(﹣1,).
【分析】连接AM,由旋转性质知AD=AB′=1、BAB′=30°、B′AD=60°,证RtADM≌Rt△AB′M得DAM=∠B′AD=30°,由DM=ADtanDAM可得答案.
【解答】解:如图,连接AM,
将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB''C′D′,
AD=AB′=1,BAB′=30°,
B′AD=60°,
在Rt△ADM和Rt△AB′M中,
,
Rt△ADM≌Rt△AB′M(HL),
DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°,
DM=ADtan∠DAM=1×=,
点M的坐标为(﹣1,),
故答案为:(﹣1,).
11.(2018?台州)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,则BCG的周长为+3.
【分析】根据面积之比得出BGC的面积等于正方形面积的,进而依据BCG的面积以及勾股定理,得出BGCG的长,进而得出其周长.
【解答】解:阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,
阴影部分的面积为×9=6,
空白部分的面积为9﹣6=3,
由CE=DF,BC=CD,BCE=∠CDF=90°,可得BCE≌△CDF,
BCG的面积与四边形DEGF的面积相等,均为×3=,
设BG=a,CG=b,则ab=,
又a2+b2=32,
a2+2ab+b2=9+6=15,
即(ab)2=15,
a+b=,即BGCG=,
BCG的周长=+3,
故答案为:+3.
三.解答题(共6小题)
12.(2018?盐城)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.
(1)求证:ABE≌△ADF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
【分析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;
(2)四边形AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;
【解答】证明:(1)正方形ABCD,
AB=AD,
ABD=∠ADB,
ABE=∠ADF,
在ABE与ADF中
,
ABE≌△ADF(SAS);
(2)连接AC,
四边形AECF是菱形.
理由:正方形ABCD,
OA=OC,OB=OD,ACEF,
OB+BE=OD+DF,
即OE=OF,
OA=OC,OE=OF,
四边形AECF是平行四边形,
AC⊥EF,
四边形AECF是菱形.
13.(2018?吉林)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,求证:ABE≌△BCF.
【分析】根据正方形的性质,利用SAS即可证明;
【解答】证明:四边形ABCD是正方形,
AB=BC,ABE=∠BCF=90°,
在ABE和BCF中,
,
ABE≌△BCF.
14.(2018?白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可;
(2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可.
【解答】解:(1)点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,
FH∥BE,FH=BE,FH=BG,
CFH=∠CBG,
BF=CF,
BGF≌△FHC,
(2)当四边形EGFH是正方形时,可得:EFGH且EF=GH,
在BEC中,点,H分别是BE,CE的中点,
GH=,且GHBC,
EF⊥BC,
AD∥BC,ABBC,
AB=EF=GH=a,
矩形ABCD的面积=.
15.(2018?潍坊)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DEAM于点E,BFAM于点F,连接BE.
(1)求证:AE=BF;
(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求EBF的正弦值.
【分析】(1)通过证明ABF≌△DEA得到BF=AE;
(2)设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,利用四边形ABED的面积等于ABE的面积与ADE的面积之和得到?x?x?x?2=24,解方程求出x得到AE=BF=6,则EF=x﹣2=4,然后利用勾股定理计算出BE,最后利用正弦的定义求解.
【解答】(1)证明:四边形ABCD为正方形,
BA=AD,BAD=90°,
DE⊥AM于点E,BFAM于点F,
AFB=90°,DEA=90°,
ABF+∠BAF=90°,EAD+∠BAF=90°,
ABF=∠EAD,
在ABF和DEA中
,
ABF≌△DEA(AAS),
BF=AE;
(2)解:设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,
四边形ABED的面积为24,
?x?x+?x?2=24,解得x1=6,x2=﹣8(舍去),
EF=x﹣2=4,
在RtBEF中,BE==2,
sin∠EBF===.
16.(2018?湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.
(1)求证:DAF≌△ABE;
(2)求AOD的度数.
【分析】(1)利用正方形的性质得出AD=AB,DAB=∠ABC=90°,即可得出结论;
(2)利用(1)的结论得出ADF=∠BAE,进而求出ADF+∠DAO=90°,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.
【解答】(1)证明:四边形ABCD是正方形,
DAB=∠ABC=90°,AD=AB,
在DAF和ABE中,,
DAF≌△ABE(SAS),
(2)由(1)知,DAF≌△ABE,
ADF=∠BAE,
ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°,
AOD=180°﹣(ADF+DAO)=90°.
17.(2018?遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AEBE),且EOF=90°,OE、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.
(1)求证:OM=ON.
(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.
【分析】(1)证OAM≌△OBN即可得;
(2)作OHAD,由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4,再根据勾股定理得OM=2,由直角三角形性质知MN=OM.
【解答】解:(1)四边形ABCD是正方形,
OA=OB,DAO=45°,OBA=45°,
OAM=∠OBN=135°,
EOF=90°,AOB=90°,
AOM=∠BON,
OAM≌△OBN(ASA),
OM=ON;
(2)如图,过点O作OHAD于点H,
正方形的边长为4,
OH=HA=2,
E为OM的中点,
HM=4,
则OM==2,
MN=OM=2.
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