【原】三角形的共点定理和距离定理

一、三角形的共点定理：

（一）共点分角线定理：

           分角正弦同向定比之积=1；

（二）共点分边线定理：

           分边同向定比之积=1（塞瓦定理）；

（三）共点平截线定理：

           平截相似率之和=2；

（四）共点“二分一平”定理：

           分边径向定比之和=平截径向定比；

（五）共点“二平一分”定理：

           分边定比=邻边平截补率之比；

（六）共点垂截线定理：

           隔分边平方和相等，其平方和最小的共点在三角形的外心上。

二、三角形的距离定理：

 （一）到三顶点距离和的定理：

1、到三顶点距离和最小的点，在三角形的费马点上。（费马原理证之）

2、费马点：与每边张角=120°的点；当最大内角＞120°时，为钝角顶点。

（二）到三边距离和的定理：

1、到三边距离和，最小点在大角顶点上，最大点在小角顶点上。

2、在等腰三角形底边上的点，到两腰距离和=腰上的高。

（点可推广到底边延长线上：与底边点距离同侧，距离取正；异侧，取负。）

3、在等边三角形及内的点，到三边距离和=等边三角形的高。

（点可推广到等边三角形外：与三角形内点距离同侧，距离取正；异侧，取负。）

（三）到三顶点距离平方和的定理：

          到顶点距离平方和最小的点，在三角形的重心上。

（四）到三边距离平方和的定理：

         到三边距离平方和最小的点，在三角形的共轭重心上；

         直角三角形的共轭重心：斜边高线中点。

（五）埃尔德什-莫德尔不等式：

         三角形内一点到三顶点距离和≥该点到三边距离和的两倍