【原】笛卡尔卵形线的分类及性质

（一）双极坐标线性方程：ax+by=d(极距)

（1）极轴顶点的分点定比λ：

①  极点O1侧顶点的外分定比λ1=(b-1)/(a+1)（-1＜λ1＜0）

②  极点O2侧顶点的外分定比λ2=(b+1)/(a-1)（λ2＜-1）

③  两极点间顶点的内分定比λ0=(1-b)/(a-1)（λ0＞0）

（2）笛卡尔卵形线与极轴只有两个交点(顶点)。

 

（二）双极坐标存在条件：

（1）  x+y ≥ d＞0

（2）｜x-y｜≤ d

 

（三）存在条件的解析图：(x，y)为直角坐标

（1）x+y=d(0≤x≤d)（线段）

（2）x-y=d(x≥d)（射线）

（3）y-x=d(x≥0)（射线）

“一段二射”所围的区域，即为解析图。两极点为O1(0，d)、O2(d，0).

 

（四）第一类卵形线：

（1）存在条件：0＜(a、b)＜1。

（2）基本性质：

①  两极点都在曲线内；

②  长半轴=d/(a+b)；

③  a=b为椭圆。

 

（五）第二类卵形线：

（1）存在条件：(a、b)＞0且1在a、b之间。

（2）基本性质：

① a＞1＞b＞0：O1在曲线内，O2在曲线外；

② b＞1＞a＞0：O2在曲线内，O1在曲线外；

③ 两极点间的曲线段，即为折射曲线：

（a）折射顶点的曲率为最大；

（b）当折射率比n1/n2=a/b时，可将“发散光”折射成“会聚光”；

（c）当折射率比n1/n2=b/a时，可将“会聚光”折射成“发散光”。

（六）第三类卵形线：

（1）存在条件：ab＜0且1在a、b之间。

（2）基本性质：

① a(a+b)＞0：O1在曲线内，O2在曲线外；

② a(a+b)＜0：O2在曲线内，O1在曲线外；

③ a+b=0。双曲线一支。

 

（七）第四类卵形线：

（1）存在条件：ab＜0且a+b＞0且1在a、b之外。

（2）基本性质：

① 两极点都在曲线内；

② 长半轴=d/(a+b)；

③ 整个曲线为折射曲线：

（a）当折射率比n1/n2=-a/b时，可将以O1为光源的“发散光”折射成以O2为象光源的“发散光”；

（b）当折射率比n1/n2=-b/a时，可将以O2为光源的“发散光”折射成以O1为象光源的“发散光”。

（c）第三类卵形线的外侧曲线段，也有此类性质。

 

（八）分类图：(a，b)为直角坐标

（A）分类区域：

（1）第一类：0＜(a、b)＜1

（2）第二类：①a＞1且0＜b＜1；    ②b＞1且0＜a＜1

（3）第三类：①a＞1且b＜0；         ②b＞1且a＜0

（4）第四类：①a+b＞0且0＜a＜1且-1＜b＜0

                       ②a+b＞0且0＜b＜1且-1＜a＜0

（5）不存在：①(a、b)＞1；       ②a+b≤0且(a、b)＜1

（6）帕斯卡蜗牛线(单环)：①a=-1、b＞1：  y=2d(b+cosθ)/(b²-1) ；         

                                            ②b=-1、a＞1：  x=2d(a-cosθ)/(a²-1). 

（B）分类边界：

（1）帕斯卡蜗牛线(双环)：

 ①a=1且0＜｜b｜＜1（O2为结点）：

极坐标方程：y=(-2d)(b+cosθ)/(1-b²) 

y＞0时为蜗牛线：x+by=d；

y＜0时为蜗牛线：x-by=d；

 ②b=1且0＜｜a｜＜1（O1为结点）：

极坐标方程：x=(-2d)(a-cosθ)/(1-a²)

x＞0时为蜗牛线：ax+y=d；

x＜0时为蜗牛线：-ax+y=d。

（2）线段：a=b=1

（3）射线：①a=-b=1；②b=-a=1

（4）圆：①a=0且b＞0；②b=0且a＞0

（5）极点：①a=1且-1＜1/b＜1；②b=1且-1＜1/a＜1

 

（九）共整曲线：（解析整式方程为同一方程）

（1）一类A与四类A的共整曲线：

①    ax+by=d（0＜b＜a≤1）（一类A）

②    ax-by=d（四类A）（②包含①）

（2）一类B与四类B的共整曲线：

①    ax+by=d（0＜a＜b≤1）（一类B）

②   -ax+by=d（四类B）（②包含①）

（3）二类A与三类A的共整曲线：

①    ax+by=d（0＜b≤1＜a）（二类A）

②    ax-by=d（三类A）（②包含①）

（4）二类B与三类B的共整曲线：

①    ax+by=d（0＜b＜a≤1）（二类B）

②    -ax+by=d（三类B）（②包含①）

（5）三类C与三类D的共整曲线：

①    ax+by=d（a＞1且b＜-1）（三类C）

②    -ax-by=d（三类D）

当a+b＞0时，O1为内点，①包含②；

当a+b＜0时，O2为内点，②包含①；

当a+b=0时，①、②合为双曲线。

 

（十）凹型卵形线：（ax+by=d）

（1）存在条件：0＜a+b＜1且｜a-b｜＞1.（a、b异号）

（2）乳峰(二重切点)坐标：（bx+ay=0）

            x=ad/(a²-b²)、  y=bd/(b²-a²).

（3）拐点坐标：（?）