复利的威力到底有多大？

在前一段热映的电影《动物世界》中有这么一个情节：郑开司被朋友坑欠上了高利贷，不得不上了一条贼船开始了石头剪刀布的赌博游戏。在游戏途中，郑开司向庄家借款，按分钟复利计算。片中角色多次提到：利息将是一个天文数字。

我们在储蓄时，经常听说“单利”和“复利”两个词，简单来说，单利就是在计算利息时只考虑初期借款额，而复利俗称利滚利，就是每隔一段时间，将本金和利息算作新的本金，计算下一期利息。那么，复利真的有这么厉害嘛？复利的多少到底和什么因素有关呢？

为了了解这个问题，我们首先来研究一个简单的模型：如果一个人从别人处借款100元，年利率12%，借款1年，1年后一次性付清本息，那么最后到底有多少利息？

单利和复利

如果利息是单利，那么情况非常简单：每年的利息是100元×12%=12元，到期时一共还款112元。

如果利息是复利，那么这个12%就是名义年利率。我们除了要知道名义年利率，还要知道复利的分期——即多长时间计算一次复利。

比如：每半年计算一次复利，那么半年的名义利率就是12%÷2=6%。于是：

六个月末，将100元记作本金，计算半年利息，本息一共

一年末，将106元作为新的本金，计算半年利息，期末本息共

相比于单利，复利多了0.36元，看起来并没有太夸张。这是因为，我们计算的每期复利时间比较长，复利期数较少。如果我们缩短计算复利间隔，情况又是如何呢？

如果每个月计算一次复利，那么每个月的名义利率就是12%÷12=1%，同时我们要计算12次本息，因此每个月的本息和是：

十二个月后，本息一共是

相比于半年复利的112.36元，月复利的本息和又多了0.32元。

我们不妨来总结一个公式：假设复利的名义年利率是r，借款1年，分期数为n，那么每一期的名义利率就是r/n。如果初期借款是P，那么到期还款的本息F一共：

期数n越多，每一期的期限就越短，每一期的名义利率r/n就会越低，但是由于总期数多了，总体的利息会变得越高。如果按天复利、按分钟复利甚至按秒钟复利，计算结果就会更大。

那么问题来了：如果我们把期数n取做无穷大，每一期的计算复利时间无限短，就称之为连续复利，连续复利到期的本息F到底是多少呢？利息会变成无穷大吗？

为了计算这个问题，我们需要了解一个非常重要的常数：e

欧拉数e

e是一个无理数，称为自然对数的底，人们最早研究e的目的是为了求解某些乘方和开方问题。后来，数学家欧拉对其进行了深刻的研究，并用字母e来表示它，恰巧欧拉的名字首字母也是E（Euler），所以人们也称之为欧拉常数。

欧拉计算了这样一个问题：

令

当n=1时，x=2

当n=2时，x=2.25

当n=3时，x=2.37037…

我们按照这个方法计算下去，可以得到一张图

从这张图我们会发现，当n增大时，x会趋近于一个固定值。欧拉从数学上严格证明了当n趋向于无穷大时，x会有一个极限值，并将这个值称为e。

现在我们计算e一般是通过泰勒展开的方式，e可以展开为

其中n！称为n的阶乘，n！=1×2×3×... ×(n-1) ×n，并且0！=1.

e是一个无理数，它的前几位是2.718281828459045…，其实很好记，大家看，首先是2.71828，然后1828重复一次，再往后是等腰直角三角形的三个内角45、90、45。这个常数在工程计算上的作用一点不比圆周率π小，大家都知道π≈3.1415926，那也应该知道e≈2.71828。

连续复利

现在我们可以利用欧拉数e计算连续复利了。回到最初的问题：初期借款为P，名义年利率r，借款1年，分期n期，那么最终本息一共

如果n趋向于无穷大，我们可以将这个式子变形：

我们会发现：当n趋向于无穷大时，n/r也趋向于无穷大，因此

所以，我们得到最终的本息一共

这就是年利率为r的连续复利一年后本息的计算公式。

从公式我们可以看出：即便把复利分期时间取得无限短，复利依然是有上限的。我们代入P=100元，r=12%，可以得到连续复利时一年后本息一共

看起来也不比单利多多少嘛。

复利为什么厉害？

复利会受到两个因素的限制，其一是名义利率，其二是期限。名义利率越高，期限越长，复利的威力也会越大。我们刚刚计算的是借款1年，如果名义年利率为r，借款年限为k年，每过一年，还款额都要乘以e的r次幂。按照连续复利，最终的还款额为

假如借款100元，名义年利率12%，借款30年连续复利，30年后本息一共是3660元，是本金的36倍多。但是如果是单利，则只需要还款460元，两者相差太多了。

在高利率、长时间借款的情况下，复利的确比单利威力大得多。股神巴菲特的公司每年财富的增长率为24%，看起来并不高，但是他连续保持了40年这样的增长率，这也使得巴菲特的资产从100美元变成了160亿美元。

在电影《动物世界》中，船上借款按分钟复利，这已经与连续复利相差无几。电影中并没有说明具体利率是多少，但是由于在船上的时间很短，下船时利息并不会有多少。只要他们下船能尽快把钱还上，就不会积累成天文数字了。

小胖说这句话，原因不是不懂数学，就是故意说假话，骗李军不去救郑开思。听说这部剧还有第二部，不知道第二部里会不会告诉我们这个利率具体是多少呢？