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上节我们学习了高等数学中的微分中值定理(四大定理)分别是费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理。有关证明题型的运用都是从这四大定理走出来的；今天我们学习高数中的洛必达法则。 想必在高中时期学习过有关洛必达法则的初等运用，但是在大学里面使用洛必达法则其运用的范围有所不同。 如果当x→a(或x→∞)时，两个函数f(x)与F(x)都趋向于零(0)或都趋向于无穷大(∞)，那么极限limf(x)/F(x)可能存在、也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为0/0或∞/∞。在第一章我们讨论过的极限x→0时，limsinx/x就是未定式0/0的一个列子，对于这类极限，即使它存在也不能用'商的极限等于极限的商'这一法则。下面我们将根据柯西中值定理来推出这类极限的一种简便且重要的方法。 我们着重讨论x→a时的未定式0/0的情形，关于这情形有以下定理： 定理1 设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋向于零; (2)在点a的某去心邻域内，f'(x)及F(x)都存在且F'(x)≠0； (3)x→a,limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)。 那么 x→a时。limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x) 这就是说，当x→a时,limf'(x)/F'(x)存在时，limf(x)/F(x)也存在且等于limf'(x)/F'(x);当x→a时,limf'(x)/F'(x)为无穷大时，limf(x)/F(x)也为无穷大。 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。 证：因为求f(x)/F(x)当x→a时的极限与f(a)及F(a)无关，所以可以假定f(a)=F(a)=0,于是由条件(1)(2)知道，f(x)及F(x)在点a的某一邻域内是连续的，设x是这一邻域内的一点，那么在以x及a为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有 f(x)/F(x)=f(x)-f(a)/F(x)-F(a)=f'(v)/F'(v)(v在x与a之间)。 令x→a,并对上式两端求极限，注意到x→a时v→a,再根据条件(3)便得要证明的结论。 如果f'(x)/F'(x)当x→a时仍属于0/0型，且这时f'(x),F'(x)能满足定理中f(x),F(x)所要满足的条件，那么可以继续施用洛必达法则先确定x→a时，f'(x)/F'(x).从而确定limf(x)/F(x),即 x→a,limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x)=limf''(x)/F''(x) 大家注意一下，上面这个式子尤为重要，只要满足0/0型或者∞/∞型，无论x趋向于谁,无论求导多少次，都可以使用洛必达法则。(不仅仅是x→0、x→∞) 列1：求x→0,limsinax/sinbx(b≠0) 解：x→0,limsinax/sinbx=limacosax/bcosbx=a/b 列2：求x→1,lim(x^3-3x+2)/(x^3-x^2-x+1) 解：x→1,lim(x^3-3x+2)/(x^3-x^2-x+1)=lim(3x^2-3)/(3x^2-2x-1)=lim6x/(6x-2)=3/2 注意：上式中的x→1,lim6x/(6x-2)已经不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误结果。以后使用洛必达法则时应当注意这一点，如果不是未定式，就不能应用洛必达法则。 列3：求x→0,lim(x-sinx)/x^3 解：x→0,lim(x-sinx)/x^3=lim(1-cosx)/3x^2=limsinx/6x=1/6 我们指出，对于x→∞时的未定式0/0以及对于x→a或x→∞时的未定式∞/∞，也有相应的洛必达法则。列如对于x→∞时的未定式0/0有以下定理。 定理2 设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋向于零； (2)当IxI>N时f'(x)与F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)x→∞，limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)， 那么 x→∞，limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x). 列4：求x→+∞，lim(π/2-arctanx)/(1/x) 解：x→+∞，lim(π/2-arctanx)/(1/x)=lim(-1/(1+x^2))/(-1/x^2)=limx^2/(1+x^2)=1 列5：求x→+∞，limlnx/x^n(n>0) 解：x→+∞，limlnx/x^n=lim(1/x)/nx^(n-1)=lim1/(nx^n)=0. 列6：求x→+∞，limx^n/e^(vx)(n为正整数,v>0) 解：相继应用洛必达法则n次，得 x→+∞，limx^n/e^(vx)=limnx^(n-1)/ve^(vx)=limn(n-1)x^(n-2)/v^2*e^(vx)=.....=limn!/v^n*e^(vx)=0 事实上，如果列6中的n不是正整数而是任何正数，那么极限仍为零。 对数函数lnx、幂函数x^n(n>0)、指数函数e^(vx)(v>0)均为当x→+∞时的无穷大，但从列5、列6可以看出，这三个函数增大的'速度'是很不一样的，幂函数增大的'速度'比对数函数快的多，而指数函数增大的'速度'又比幂函数快的多。 下表列出了x分别取10,100,1000时，函数lnx,√x,x^2及e^x相应的函数值，从中可以看出当x增大时这几个函数增大的'速度'快慢的情况。
其他还有一些0*∞、∞-∞、0^0、1^∞、∞^0型的未定式，也可通过0/0或∞/∞型的未定式来计算，下面用列子说明。 列7：求x→0+，limx^nlnx(n>0). 解：这是未定式0*∞，因为 x^nlnx=lnx/(1/x^n) 当x→0+时，上式右端是未定式∞/∞，应用洛必达法则，得 x→0+,limx^nlnx=limlnx/x^(-n)=lim(1/x)/(-nx^(-n-1))=lim(-x^n/n)=0 列8：求x→0，lim(tanx-x)/x^2sinx 解：如果直接用洛必达法则，那么分母的导数(尤其是高阶导数)较繁，如果作一个等价无穷小替代，那么运算就方便得多，其运算如下： x→0，lim(tanx-x)/x^2sinx=lim(tanx-x)/x^3=lim(sec^2-1)/3x^2 =lim2sec^2xtanx/6x=1/3limtanx/x=1/3 最后，我们指出，本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，所求的极限当然存在(或为∞)，但当定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在，这就是说，当limf'(x)/F'(x)不存在时(等于无穷大的情况除外)，limf(x)/F(x)仍可能存在。 本节主要讲的是何为洛必达法则，什么情况下可以用洛必达法则，满足什么条件可以用洛必达法则以及洛必达法则的性质、定理。 洛必达法则的存在最实际的意义就在于其衔接极限、导数、一元函数微积分以及后面要讲解的泰勒公式等。所以其地位不可或缺，所以请同学们及时收藏并分享下，防止遗漏。 下节课我们学习利用导数研究函数的性态。 |
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