0.如何使用模型上篇从零开始建模(一)-牛顿欧拉方程我们建立的飞行器的模型。 我们来回忆一下小车的速度是如何更新的。
如何使用这个模型呢?你得有个初始状态,然后根据当前的受力,就可以得到下一时刻的加速度,和角速度。 1.状态更新我们在控制飞行器时候,最需要的状态并不是加速度,我们想要的是飞行器的状态,什么是状态速度,位置,角速度,和角度等等都是它的状态,其中最关键的状态就是角度,也就是我们说的欧拉角(一种姿态的描述方法)。 跟小车一样,加速度积分得到速度,速度积分得到位移。 结束了,姿态更新不过就是几个积分过程。 其实还真可以就到这里结束,你用这种方式得到状态就可以着手设计你的控制器了,那么下期为大家带来简单的控制器思路,敬请期待。 好了好了不皮,上面的思路确实是可以的,用于快速验证思路完全没问题的。 重新思考一下,状态更新的目的是什么,状态更新的目的是通过角速度得到姿态,姿态是什么?是旋转,旋转可以如何表示?欧拉角,四元数,轴角,旋转矩阵都是用来描述旋转的利器。 2.角加速度的积分是什么在模型中我们求出的角加速度,是根据每个轴的力矩分析得到的,是相互独立的,所以它的积分得到的就是每个轴独立的角速度w。 3.姿态变化率和机体角速度我们通常认为
但是实际上是这样的,欧拉角的微分方程是这样的,这个方程描述了姿态变化率和机体角速度的关系,已知角速度可以求出角度。 欧拉角是一个跟旋转过程有关的三个角,并不是完全独立的,是非正交的,所以三个角之间是有耦合的。而通过力矩分析得到的角速度则是完全独立的,正交的。(具体推导过程我会放在资料里)
根据这个方程,只有在三个角度非常小的时候,才有:
所以如何通过角速度得到欧拉角呢?如果你不想假设角度非常小,解这个方程就行了。 但是要解这方程可可太难了,系数是个变化的量而且角度之间有耦合,现在是不是可以直观理解到为什么书上说欧拉角不好用,非线性,耦合,在方程中一目了然。这个方程解不了怎么办呢?(数学重要不!不好好学,给你个方程你都解不了) 4.四元数微分方程别急,我们想要的是姿态,姿态除了欧拉角还有四元数形式呢。
这个方程,系数是已知数的微分方程在数学上有很多方法可以,我们经常听见的毕卡法,龙格库塔法,都是解微分方程的方法,其实我们通常用积分的方法解微分方程在数学上叫矩形法,可以查关键词“数值分析”里面有介绍如何通过离散的方法解微分方程。(这些方程的解法具体过程在《惯性导航》中有非常详细的过程,我会放在资料中) 现在你是不是更加理解为什么欧拉角这么直观,这么好看,怎么还需要其他表示姿态的方法呢?因为欧拉角不好用呀,方程不好解呀! 5.总结1.模型使用时是个迭代过程。 这个姿态更新过程,做其实都是为了之后控制做准备,知识点其实比较多,关键词我都给出来了,感兴趣的可以自己继续深入查资料哦。虽然知识点越来越多,但是随着了解的深入,你会感受到更多的魅力,而且我会持续更新,一起学习吧。 我还想请认真看的同学思考几个问题,为什么我们一定要求姿态呢?三个独立的角速度直接积分得到的是三个独立的角,用这个角不行吗? 欢迎加我的个人微信交流,听说加我的人不用建模也有对象哦^_^ |
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