干货｜曲线运动与万有引力定律相关解题技巧

曲线运动

1．曲线运动的特征

（1）曲线运动的轨迹是曲线。

（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。）

曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。

2．物体做曲线运动的条件

（1）从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

（2）从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动，也可以说是：合外力不变的运动。

4．曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系

（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。

（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。

① 当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。

② 当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。

③ 当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）

绳拉物体

合运动： 实际的运动。对应的是合速度。

方法：把合速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向。

小船渡河

例1：一艘小船在200m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s，小船在静水中的速度是5m/s，

求：

（1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？

（2）欲使航行位移最短，船应该怎样渡河？最短位移是多少？渡河时间多长？

船渡河时间：主要看小船垂直于河岸的分速度，如果小船垂直于河岸没有分速度，则不能渡河。

由 t=d/v船cosθ，得 tmin=d/v船

此时θ=0°，即船头的方向应该垂直于河岸

解：

（1）结论：欲使船渡河时间最短，船头的方向应该垂直于河岸。渡河的最短时间为：t_min=d/v_船

合速度为：

合位移为：

或者x=v_合t

（2）分析：

怎样渡河：船头与河岸成θ 向上游航行。

最短位移为：x_min=d

合速度为：

对应的时间为：t=d/v_合

例2：一艘小船在200m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是5m/s，小船在静水中的速度是4m/s，

求：

（1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？

（2）欲使航行位移最短，船应该怎样渡河？最短位移是多少？渡河时间多长？

解：

（1）结论：欲使船渡河时间最短，船头的方向应该垂直于河岸。

渡河的最短时间为：t_min=d/v_船

合速度为：

合位移为：

或者x=v_合t

（2）方法：以水速的末端点为圆心，以船速的大小为半径做圆，过水速的初端点做圆的切线，切线即为所求合速度方向。

如上图所示：AC即为所求的合速度方向。

相关结论：

cosθ=v船/v水；

；

xmin=xAC=d/cosθ=dv水/v船；

t=xmin/v合或t=d/v船sinθ

平抛运动基本规律

1．速度：v_x=v₀，v_y=gt；

合速度：

；

方向：tanθ=v_y/v_x=gt/v_0；

2．位移：x=v₀t，y=gt²/2；

合位移：

；

方向：tanα=y/x=gt/2v_0；

3．时间由：y=gt²/2得

（由下落的高度y决定）

4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

5．tanθ=2tanα速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。

6．平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。（A是OB的中点）。

匀速圆周运动

1．线速度：质点通过的圆弧长跟所用时间的比值。

v=Δs/Δt=ωr=2πr/T=2πfr=2πnr，单位：米/秒，m/s

2．角速度：质点所在的半径转过的角度跟所用时间的比值。

ω=Δφ/Δt=2π/T=2πf=2πn，单位：弧度/秒，rad/s

3．周期：物体做匀速圆周运动一周所用的时间。

T=2πr/v=2π/ω，单位：秒，s

4．频率：单位时间内完成圆周运动的圈数。

f=1/T，单位：赫兹，Hz

5．转速：单位时间内转过的圈数。

n=N/t，单位：转/秒，r/s，n=f(条件是转速n的单位必须为转/秒)

6．向心加速度：

a=v²/r=ω²r=ωv=（2π/T）²r=（2πf）²r

7．向心力：

F=ma=mv²/r=mω²r=mωv=m（2π/T）²r=m（2πf）²r

8．三种转动方式

竖直平面的圆周运动

１．“绳模型”如上图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。

（注意：绳对小球只能产生拉力）

（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用

mg=mv²/rv_临界

（2）小球能过最高点条件：v≥

（当v>

时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）=

（3）不能过最高点条件：v

（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）

２．“杆模型”，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况

（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。）

（1）小球能过最高点的临界条件：v=0，F=mg（F为支持力）

（2）当0v

时，F随v增大而减小，且mg>F>0（F为支持力）

（3）当v=

时，F=0

（4）当v>

时，F随v增大而增大，且F>0（F为拉力）

万有引力定律

1．开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量。

r³/T²=k（K值只与中心天体的质量有关）

2．万有引力定律：F_万=Gm₁m₂/r²

（1）赤道上万有引力：F_万=mg+F_向=mg+ma_向（g和a_向是两个不同的物理量）

（2）两极上的万有引力：F_引=mg

3．忽略地球自转，地球上的物体受到的重力等于万有引力。

由GMm/R²=mg得GM=gR²(黄金代换)

4．距离地球表面高为h的重力加速度：由GMm/（R+h）²=mg’得GM=g’（R+h）²，g’=GM/（R+h）²

5．卫星绕地球做匀速圆周运动：万有引力提供向心力F_万=GMm/r²=F_向

GMm/r²=ma得a=GM/r²（轨道处的向心加速度a等于轨道处的重力加速度g_轨）

6．中心天体质量的计算：

方法1：

（已知R和g）

方法2：

（已知卫星的V与r）

方法3：

（已知卫星的

与r）

方法4：

（已知卫星的周期T与r）

方法5：

已知

（已知卫星的V与T）

方法6：

已知

（已知卫星的V与

，相当于已知V与T）

7．地球密度计算：球的体积公式：V=4πR³/3

近地卫星ρ=3π/GT²(r=R)

8．发射速度：采用多级火箭发射卫星时，卫星脱离最后一级火箭时的速度。

运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动时的线速度。

当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。

第一宇宙速度：7.9km/s。卫星环绕地球飞行的最大运行速度。地球上发射卫星的最小发射速度。

第二宇宙速度：11.2km/s。使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行，从地球表面发射所需的最小速度。

第三宇宙速度：16.7km/s。使人造卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去，从地球表面发射所需要的最小速度。

v=7.9km/s，卫星绕地球做匀速圆周运动；7.9km/s<><11.2km><16.7km>