我们在做数学的几何方面的题目时候，大多数情况下是要用到辅助线的，今天就给大家讲一下怎么构造全等三角形，以及等腰三角形的几种情况通常做辅助线的方法。
当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.
例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，
求证：∠A = ∠D
证明比较简单，连结BC就可以证明。
当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.
例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D
求证：∠ABC = ∠DCB
证明只需要分别取AD、BC中点N、M，连结NB、NM、NC，这样做完辅助线以后，很快就得证，不在证明。
有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.
例：已知，如图，∠1 =∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，求证：∠BAP＋∠BCP = 180度
证明：过P作PE⊥BA于E
∵PD⊥BC，∠1 = ∠2
∴PE = PD
在Rt△BPE和Rt△BPD中
BP = BP，PE = PD
∴Rt△BPE≌Rt△BPD
∴BE = BD
∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE
∴AE = CD
∵PE⊥BE，PD⊥BC
∠PEB =∠PDC = 90度
在△PEA和△PDC中
PE = PD
∠PEB =∠PDC
AE =CD
∴△PEA≌△PDC
∴∠PCB = ∠EAP
∵∠BAP＋∠EAP = 180度
∴∠BAP＋∠BCP = 180度
有等腰三角形时常用的辅助线
例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC
证明：作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 =
∠BAC
又∵AB = AC
∴AE⊥BC
∴∠2＋∠ACB = 90o
∵BD⊥AC
∴∠DBC＋∠ACB = 90o
∴∠2 = ∠DBC
∴∠BAC = 2∠DBC
这道题，还有两种方法，这里不再讲解，留给大家，欢迎大家在评论里说出你们的方法。
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE = DF
证明：连结AD.
∵D为BC中点，
∴BD = CD
又∵AB =AC
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE = DF
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC
证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC
∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC
∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180度
∴2∠BCA＋2∠ACN = 180度
∴∠BCA＋∠ACN = 90度
即∠BCN = 90度
∴NC⊥BC
∵AE = AF
∴∠AEF = ∠AFE
又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE，∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC
∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC
∴∠AEF = ∠ANC
∴EF∥NC
∴EF⊥BC
例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F
求证：DF = EF
证明：过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，
∵AB = AC
∴∠B = ∠ACB
∴∠B =∠DNB
∴BD = DN
又∵BD = CE
∴DN = EC
在△DNF和△ECF中
∠1 = ∠2，∠NDF =∠E，DN = EC
∴△DNF≌△ECF
∴DF = EF
这道题，还有第二种作法，就是过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B，证明过程留给大家。
例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD =AE，连结DE
求证：DE⊥BC
证明：过点E作EF∥BC交AB于F，则∠AFE =∠B，∠AEF =∠C
∵AB = AC
∴∠B =∠C
∴∠AFE =∠AEF
∵AD = AE
∴∠AED =∠ADE
又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180度
∴2∠AEF＋2∠AED = 90度
即∠FED = 90度
∴DE⊥FE
又∵EF∥BC
∴DE⊥BC
（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，另外两种方法的提示就这么多，过程留给大家。
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数.
解：以AB为一边作等边三角形，连结CE，则∠BAE =∠ABE = 60度，AE = AB = BE
∵AB = AC
∴AE = AC ，∠ABC =∠ACB
∴∠AEC =∠ACE
∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80°－60° = 20°
∴∠ACE =(180°－∠EAC)= 80°
∵∠ACB=(180°－∠BAC)= 50°
∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80°－50° = 30°
∵∠PCB = 30°
∴∠PCB = ∠BCE
∵∠ABC =∠ACB = 50°, ∠ABE = 60°
∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60°－50° =10°
∵∠PBC = 10°
∴∠PBC = ∠EBC
在△PBC和△EBC中
∠PBC = ∠EBC，BC = BC，∠PCB = ∠BCE
∴△PBC≌△EBC
∴BP = BE
∵AB = BE
∴AB = BP
∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10°= 40°
∴∠PAB =(180°－∠ABP)= 70°
同样这道题还有其他的解法，留作练习题，大家可以在评论里留言做法。欢迎大家踊跃留言！
