湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）
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班级 ： 分数 ：
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）
1.定义集合运算: 
.设
，
，则集合
的所有元素之和为（ ）
A.16
B.18
C. 20 D.22
2.已知
是等比数列，
，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C. 
D.
3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
４．已知、为非零的不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的（ ）
Ａ．必要而不充分条件 Ｂ．充分而不必要条件
Ｃ．充分而且必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件
5．设函数定义在上，给出下述三个命题：
①满足条件的函数图象关于点对称；②满足条件的函数图象关于直线对称；③函数与在同一坐标系中，其图象关于直线对称.其中，真命题的个数是
（ ）
A.0
B.1
C.2 D.3
6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦、可能相交于点
②弦、可能相交于点
③的最大值为5
④的最小值为1
其中真命题为（
）
A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
7.设，，，,则的大小关系是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
8. 设函数，且，，则（ ）
A.2
B.1 C.0
D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）
9．在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为
若到点、的“直角距离”相等，其中实
数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 ．
10.已知集合，若点、点满足且
，则称点优于. 如果集合中的点满足：不存在中的其它点优于，则
所有这样的点构成的集合为 ．
11.多项式的展开式在合并同类项后，的系数为 .（用数字作答）
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 .
13.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有
不同的染法.（用数字作答）
14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，
其中，表示实数的整数部分，例如， 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为
.
三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）
15．（本小题满分14分）设实数，求证：
其中等号当且仅当或成立，为正实数.
１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．
17. （本小题满分16分）已知函数在区间上的最小值为，令，，
求证：
18. （本小题满分18分）过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结
（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；
（2）当∥时，定点平分线段
湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）详细解答
1.解：集合的元素：，，，，故集合的所有元素之和为16. 选A.
2. 解: 设的公比为，则，进而.
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列.
.
显然，. 选C.
3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为.选D.
４． 解：设，，则表示与共线的任一向量，表示点到直线上任一点的距离，而表示点到的距离. 当时，由点与直线之间垂直距离最短知，，即对一切，不等式恒成立．反之，如果恒成立，则，故必为点到的垂直距离，，即. 选C.
5．解：用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上.反之亦然，故①是真命题.用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.
6. 解：假设、相交于点，则、共面，所以、、、四点共圆，而过圆的弦
的中点
的弦
的长度显然有
，所以②是错的．容易证明，当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时，
最大为５，故③对．当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．
7. 解：因为
，所以，
；
；
；
．
又
，故
故选B.
8. 解：由
，令
，则
为奇函数且单调递增.
而
,
,
所以
,
,
,从而
,
即
,故
.选D.
9． 解：由条件得 
①
当
时，①化为
，无解；
当
时，①化为
，无解；
当
时，①化为 
②
若
，则
，线段长度为１；若
，则
，线段长度为
；若
，则
，线段长度为４．综上可知，点
的轨迹的构成的线段长度之和为
．填
．
10. 解:
优于
，即位于的左上方，“不存在
中的其它点优于
”，即“点的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为
.填．
11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程
①
的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为
下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设
.将方程①化为
记
，则方程
的自然数解的组数为
因此，
的系数为
.填7651.
12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为
，底面面积为
.
又因为体积为
，所以高为
.该球的直径为
，球的体积
.填
.
13.解：第一行染2个黑格有
种染法.第一行染好后，有如下三种情况：
（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；
（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有种染法，第四行的染法随之确定；
（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.
因此，共有染法为
种.填90.
14.解：令
，则
故
是周期为5的函数.
计算可知：
；
；
；
；
. 所以，
；
；…；
.
以上各式叠加，得
；
同理可得
.
所以，第2008棵树的种植点为
.填.
15．证明：由对称性，不妨设
，令
，则因
，可得
…………………………（3分）
设
，则对
求导，得
.…………（6分）
易知，当
时，
，
单调递减；当
时，
，单调递增. …………………………………………………………………（9分）
故在
或
处有最大值且
及
两者相等.
故的最大值为
，即
.………………（12分）
由，得
，其中等号仅当
或
成立.
…………………………………………………………………………（14分）
１6． 解：如果某方以
或
获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分）
乙胜五局的概率为
；………………………………………………（6分）
乙胜四局负一局的概率为
；………………………………（9分）
乙胜三局负二局的概率为
……………………………（12分）
以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为
……………（14分）
17. 解：（1）因为
，所以函数的定义域为
，…（2分）
又
.……………………………………………（5分）
当
时， 
，即
在
上是减函数，故
…………………………（8分）
因为
,所以
.
…………………………………………………………………………（12分）
又容易证明
，所以
，
………………………………………………………………（14分）
.
即
……………………（16分）
18. 证明：（1）设
、
、
. 则椭圆过点
、的切线方程分别为
，
.…………………………………………（3分）
因为两切线都过点，则有
，
.
这表明、均在直线
①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线的方程，其中
满足直线
的方程.…………………（6分）
（1）当点在直线上运动时，可理解为
取遍一切实数，相应的
为
代入①消去得
②
对一切
恒成立. …………………………………………………………（9分）
变形可得
对一切恒成立.故有
由此解得直线恒过定点
.……………………………（12分）
（2）当∥时，由式②知
解得
代入②，得此时的方程为
③
将此方程与椭圆方程联立，消去
得
…………………………………………（15分）
由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即
代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即
这就是说，点平分线段.……………………………（18分）
