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能不能简单解释黎曼猜想是什么？ 其实可以。 但是话说在前面，越是简单的解释，丢失的信息就越多，所以解释得越简单，就越难接着解释为什么这个东西很重要。 用我能想到的最简单办法解释，是这样的：根据一个重要的数学公式，能画出很多很多个点，实际上有无穷多个这样的点。 黎曼觉得，这些点有一部分排成一条横线，另一部分排成一条竖线，所有这些点都在这两条线上，没有一个漏网的。 这么一说是不是感觉没有什么了不起的样子？那就稍微扩展一点： 首先，有一个很重要的函数，叫黎曼泽塔函数。 这个函数是一个复函数，可以把它理解为有两个变量的函数，一个叫实部，一个叫虚部。 写成熟悉的函数样子的话，那就是 y = f (实, 虚)。 这函数长得有点复杂，但可以先从简单情况看起：假如我们先不管虚部，强制让虚部=0，那就是一个很普通的函数 y = f’ (实) 了。这个函数长啥样呢？ 【图1】是它的一部分。 你会发现它有一个明显特点：当实部=-2、-4、-6、-8、-10……等等的时候，这个函数都和x轴相交。换言之，它的函数值在这些时候都是0。 图1 这就是我们想要的东西：让黎曼泽塔函数的函数值取0的点。 当然，这些点太显然了，很没意思，用数学家的话说就是这都是“平凡”的解。 简单的原因是，我们刚才只考虑了虚部=0的情况。如果允许虚部随便取，那要怎样才能让函数值取0呢？ 这就是黎曼的猜想了：为了让函数值取0，除了这些平凡解之外，剩下的所有解，不管虚部多大，实部都一定是1/2。 或者说，如果我们把所有的解画在坐标轴上，实部是横，虚部是纵，那么它们应该像【图2】这样，除了左边-2、-4、-6那一串，剩下右边的，全都在1/2的这条红线上。 图2
也可以表述成，“黎曼泽塔函数的零点要么是负偶数，要么是实部为1/2的复数。” ……凭什么啊？ 不知道！但这就是黎曼的猜想，而且这个猜想如果成立的话，将会非常非常非常的好用。 实际上，数学家们已经在假定它成立的情况下，从它推出了成百上千条定理，涉及到好多好多领域的数学。 假如有一天突然发现黎曼其实猜错了，那大家就会很慌，有很多本来习以为常的东西都错了，就像大厦的地基突然塌陷。 但大家也会很兴奋，因为这就意味着很多之前认为做不了的事情突然又可以做了。 但反过来如果终于有人能够彻底证明黎曼真的是对的，那……其实不会造成什么立即的动荡，因为大家一直都是假定它是对的，只不过终于所有人都能松一口气睡个安稳觉了。 必须指出，黎曼猜想并不能直接用来解决大质数分解问题，它的成立并不意味着我们的加密系统要立刻完蛋。 不造成立刻动荡，并非不重要为了这个定理大家已经花了一百五十多年，常规的办法都试过了都不太管用，所以如果有人真的证明了它，几乎肯定是找到了一条前无古人的新路线。 而因为黎曼猜想的地位十分核心，所以这个路线几乎肯定能用来干好多别的厉害的事情，甚至开辟一整个新领域。 上一次出现这种事情，是证明费马大定理。费马大定理本身其实没有特别特别重要，但是为了证明它而开发出的一系列数学工具改变了数学界的面貌。 对于黎曼猜想，大家等的也是这样的场景。 但究竟能不能等到嘛……这次就看24号海德堡大会上Michael Atiyah爵士到底能讲出啥来了。 以及，一个PS： 如果对黎曼泽塔函数取-1，就得到了那个著名的“公式”：1+2+3+4+……=-1/12。 但是，这不是加法！不是加法！不是加法！不是说自然数的和是-1/12！
这个公式最早是欧拉搞出来的。欧拉那个时代，大家没有搞明白微积分，做了很多乱来的事情，后来两百年才慢慢救回来。 欧拉证明这个“公式”的做法，按照今天的标准，就是错的。没悬念。 但是后来的数学家发现，虽然欧拉的证明是错的，但是在有些特定的场合下，比如物理上的重整化或者数学的模形式，说“黎曼泽塔函数在-1处的值为-1/12” （或者，ζ(-1)=-1/12），这样做居然很有用…… 怎么说呢，牛人运气好，欧拉蒙对了（虽然他几乎肯定不知道自己蒙对了啥）。 但总而言之，在这个问题上数学家们费了很大的劲，重新定义了加法（真的），用很麻烦的严格办法让ζ(-1)=-1/12这个事情能够成立。 但是今天的数学家已经没有人会把它写成“1+2+3+4+……=-1/12”了。这样做一是没有必要，二是引起误解：这里的加是所谓拉马努金求和，根本就不是我们日常熟悉的那种加法。 所以再重复一遍：所有自然数加起来不是-1/12，而是一个没有意义的东西，就像你算1÷0得到的是没有意义的东西一样。 今天油管上有很多视频说证明1+2+3+4+……=-1/12，这些视频99.99%都是错误的证明，都是乱搞，有的和欧拉一样蠢，大部分比欧拉还蠢得多（咦这话说出来好像不是贬义）。 还有好几个类似的，比如1-1+1-1+1……=1/2，也是差不多的现象，错误的证明满天飞；你可以给它一个严谨的证明，但那个证明会很难，而且使用的也不再是我们熟悉的加法减法。 |
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