初中数学, 和正方形相关的经典题目, 难度相对比较大题目专题分享

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第一题

已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA

这道题是我在前面分享留的一道练习题初中数学只要规律吃透，遇见包装再好的题也很容易做出来，因为这是一类经典题，所以今天拿出来和大家分享，在那里也提到了正方形做辅助线的方法，下面我们具体证明：

证明：延长PB到E，使BE=DQ，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°
在△ABE和△ADQ中

AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，BE＝DQ
∴△ABE≌△ADQ
∴∠4=∠2
∵AB⊥PE
∵∠E=∠5=∠1+∠3
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴∠PAE=∠3+∠4
∴∠PAE=∠E
∴PA=PE=PB+BE=PB+DQ

这道题和出现一边中点类的题目做辅助线的方法不太相同，这样做辅助线之外，也可以旋转△ABP。其实是一样的，大家有兴趣可以试一试，这道题难点是辅助线，考查点还是正方形的性质应用、角平分线的性质。解题的关键是作辅助线构造全等三角形。

我们再来看一题进行巩固一下，

如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点，∠MAN=45°．
求证：MB+ND=MN．

这道题和前面题基本一样，不看前面讲解，如果能做出来，基本这类就掌握了。

第二题

已知正方形ABCD，点P、Q分别是边AD、BC上的两动点，将四边形ABQP沿PQ翻折得到四边形EFQP，点E在线段CD上，EF交BC于G，连接AE．求证：（1）EA平分∠DEF；（2）EC+EG+GC=2AB。

这道题属于难度比较大的题目，是对正方形的性质、角平分线性质、旋转以及对称知识的综合应用考查，难点还是做辅助线构造全等三角形。

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴DC∥AB，∠BAD=90°
∴∠DEA=∠1
又由折叠知，PA=PE，∠PEF=∠PAB=90°
∴∠2=∠3，则∠PEF-∠3=∠PAB-∠2
即∠1=∠4
∴∠DEA=∠4
即EA平分∠DEF
（2）在EG上截取EH，使得EH=ED，连接AH、AG，则△ADE≌△AHE（SAS）
∴AD=AH，∠D=∠5
∵四边形ABCD是正方形
∴∠D=∠B=90°，AB=BC=CD=DA
∴AH=AB，且∠5=∠B=90°，则∠6=90°
∵在Rt△AHG和Rt△ABG中

AH=ABAG=AG

∴Rt△AHG≌Rt△ABG（HL）

∴HG=BG
∴EG=EH+HG=DE+BG

∴EC+EG+GC=EC+DE+BG+GC=DC+BC=2AB

在最后我们在回忆一下对称的有关性质，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等。另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。

好了今天的分享就到这里，希望能够对家有帮助,谢谢！

最后给大家一个数独游戏，大家可以在评论里给出答案。将数字1,2,3,4填入空格内，使每行每列及每宫内数字均不重复。会做的积极留言啊