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第一题
已知：如图，AB=BC，D、E分别是AB、BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
这道题，主要考查我们等腰直角三角形的性质，和通过辅助线构造全等三角形的熟练程度，下面我们先看证明过程。
首先我们先做辅助线,如上图
证明：作MF⊥BN于F,CG⊥BN交BN延长线于G,DH⊥BN于H ∵∠AKB=∠BGC=90°,∠BAK=∠CBG=90°-∠ABK,AB=BC ∴△AKB≌△BGC ∴BK=CG ∵∠BKE=∠DHB=90°,∠BDH=∠CBG=90°-∠ABK,BE=BD ∴△BKE≌△DHB ∴BK=DH ∵DM∥BN ∴DH=MF ∴CG=MF ∴△MFN≌△CGN ∴MF=NC
这道题对于全等三角形不太熟悉的同学,做起来有点吃力,因为找一些关系有点难度,如果熟悉的话几分钟就完成了，所以这道题难点就在于构造辅助线完成三角形全等的证明。 第二题
如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN.
这道题难度有点大，图形也稍微复杂一些，我们来分析一下（1）通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，从而ASA证明△ABF≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得到结论.（2）①过E点作EG⊥AB于点G，通过证明EG是BM的垂直平分线就易得出结论.②通过证明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN来证明结论.下面我们来具体证明：
证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，FA⊥AE ∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°.
∴∠1=∠2.
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC ∴∠FCA=90°-∠ACB=45° ∴∠B=∠FCA ∴△ABF≌△ACF（ASA） ∴BE=CF.
（2）①如图，过E点作EG⊥AB于点G
∵∠B=45° ∴△CBE是等腰直角三角形 ∴BG=EG，∠3=45°.
∵BM=2DE ∴BM=2BG，即点G是BM的中点 ∴EG是BM的垂直平分线 ∴∠4=∠3=45°.
∴∠MEB=∠4+∠3=90° ∴ME⊥BC.
②∵AD⊥BC ∴ME∥AD ∴∠5=∠6.
∵∠1=∠5 ∴∠1=∠6 ∴AM=EM
∵MC=MC ∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL） ∴∠7=∠8.
∵∠BAC=90°，AB=AC ∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°
∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90° ∴△ADE≌△CDN（ASA） ∴DE=DN
今天给大家分享的两道题都有一定难度，并且辅助线不容易做，需要多消化消化，同样最后给大家一道练习题，去练习，检验一下自己的掌握情况：
练习：如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．
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