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一、单棒问题 二、含容式单棒问题 三、无外力双棒问题 四、有外力双棒问题 题型一阻尼式单棒 模型如图。 1．电路特点：导体棒相当于电源。 2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。FB=BIl=B2L2V2/(R+r) 3．加速度特点：加速度随速度减小而减小,a== FB/m=B2L2V2/m(R+r) 4.运动特点：速度如图所示。 a减小的减速运动 5．最终状态:静止 6．三个规律 (1)能量关系：1/2mv2-0 = Q,QR/Qr = R/r (2)动量关系： （3）瞬时加速度: 【典例1】如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L的区域内，有一个边长为a（a<>
A. 完全进入磁场中时线圈的速度大于（v0+v）/2 B. 安全进入磁场中时线圈的速度等于（v0+v）/2 C. 完全进入磁场中时线圈的速度小于（v0+v）/2 D. 以上情况A、B均有可能，而C是不可能的 【典例2】如图所示，AB杆受一冲量作用后以初速度v0=4m/s沿水平面内的固定轨道运动，经一段时间后而停止．AB的质量为m=5g，导轨宽为L=0.4m，电阻为R=2Ω，其余的电阻不计，磁感强度B=0.5T，棒和导轨间的动摩擦因数为μ=0.4，测得杆从运动到停止的过程中通过导线的电量q=10-2C，求：上述过程中（g取10m/s2）
（1）AB杆运动的距离； （2）AB杆运动的时间； （3）当杆速度为2m/s时，其加速度为多大？ 题型二发电式单棒
1．电路特点 导体棒相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv 2．安培力的特点 安培力为阻力，并随速度增大而增大
3．加速度特点 加速度随速度增大而减小
4.运动特点：速度如图所示
a减小的加速运动 5．最终特征：匀速运动 6．两个极值 (1) v=0时,有最大加速度：
（2）a=0时,有最大速度
7. 稳定后的能量转化规律
8．起动过程中的三个规律 (1)动量关系：
(2)能量关系：
(3)瞬时加速度
9．几种变化 (1) 电路变化
(2) 磁场方向变化
(3) 拉力变化
若匀加速拉杆则F大小恒定吗？ （4）导轨面变化（竖直或倾斜）
加沿斜面恒力或通过定滑轮挂一重物或加一开关 【典例3】如图所示,水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m的金属棒ab.导轨的一端连接电阻R，其他电阻均不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下,金属棒ab在一水平恒力F作用下由静止开始向右运动．则()
A．随着ab运动速度的增大，其加速度也增大 B．外力F对ab做的功等于电路中产生的电能 C．当ab做匀速运动时，外力F做功的功率等于电路中的电功率 D．无论ab做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能 【典例4】一个闭合回路由两部分组成，如图所示，右侧是电阻为r的圆形导线,置于竖直方向均匀变化的磁场B1中，左侧是光滑的倾角为θ的平行导轨，宽度为d，其电阻不计．磁感应强度为B2的匀强磁场垂直导轨平面向上,且只分布在左侧,一个质量为m、电阻为R的导体棒此时恰好能静止在导轨上,分析下述判断正确的是()
A．圆形导线中的磁场，可以方向向上且均匀增强，也可以方向向下且均匀减弱 B．导体棒ab受到的安培力大小为mgsin θ C．回路中的感应电流为mgsin θ/B2d D．圆形导线中的电热功率为m2g2sin2θ(r＋R)/B22d2 【典例4】如图甲所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m。导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B。金属导轨的上端与开关S、定值电阻R1和电阻箱R2相连。不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g。现在闭合开关S，将金属棒由静止释放
(1) 判断金属棒ab中电流的方向； (2) 若电阻箱R2接入电路的阻值为0，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程中定值电阻上产生的焦耳热Q； (3) 当B＝0.40 T，L＝0.50 m，α＝37°时，金属棒能达到的最大速度vm随电阻箱R2阻值的变化关系，如图乙所示。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80。求R1的阻值和金属棒的质量m。 题型三无外力等距双棒
1．电路特点 棒2相当于电源；棒1受安培力而加速起动,运动后产生反电动势. 2.电流特点：
随着棒2的减速、棒1的加速，两棒的相对速度v2-v1变小，回路中电流也变小。 v1=0时：电流最大，
v2=v1时：电流I＝0 3. 两棒的运动情况
安培力大小：
两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.棒1做加速度变小的加速运动，棒2做加速度变小的减速运动，最终两棒具有共同速度。 4．两个规律 (1)动量规律 两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零,系统动量守恒
(2)能量转化规律 系统机械能的减小量等于内能的增加量.（类似于完全非弹性碰撞）
两棒产生焦耳热之比：
5．几种变化： (1)初速度的提供方式不同
(2) 磁场方向与导轨不垂直
(2) 两棒都有初速度
两棒动量守恒吗？ (2) 两棒位于不同磁场中
两棒动量守恒吗？ 【典例5】如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T．在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.1 Ω 的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg，电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑．cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2，问：
(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向； (2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大； (3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab上产生的热量Q是多少． 题型四有外力等距双棒
1．电路特点 棒2相当于电源，棒1受安培力而起动. 2.运动分析： 某时刻回路中电流:
安培力大小：FB=BIl
当a2＝a1时，v2-v1恒定，I恒定，FB恒定，两棒匀加速 4. 稳定时的速度差
4．变化 (1)两棒都受外力作用
(2) 外力提供方式变化
【典例6】如图所示,两根足够长的平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角α=30°,导轨光滑且电阻不计,导轨处在垂直导轨平面向上的有界匀强磁场中.两根电阻都为R=2 Ω、质量都为m=0.2 kg的完全相同的细金属棒ab和cd垂直导轨并排靠紧的放置在导轨上,与磁场上边界距离为x=1.6 m,有界匀强磁场宽度为3x=4.8 m.先将金属棒ab由静止释放,金属棒ab刚进入磁场就恰好做匀速运动,此时立即由静止释放金属棒cd,金属棒cd在出磁场前已做匀速运动.两金属棒在下滑过程中与导轨接触始终良好(取重力加速度g=10 m/s2).求:
(1)金属棒ab刚进入磁场时棒中电流I； (2)金属棒cd在磁场中运动的过程中通过回路某一截面的电荷量q; (3)两根金属棒全部通过磁场的过程中回路产生的焦耳热Q. 【典例7】如图所示，间距l＝0.3 m的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内．在水平面a1b1b2a2区域内和倾角θ＝37°的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1＝0.4 T、方向竖直向上和B2＝1 T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场．电阻R＝0.3 Ω、质量m1＝0.1 kg、长为l的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、b2点，K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好．一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下垂，绳上穿有质量m2＝0.05 kg的小环．已知小环以a＝6 m/s2的加速度沿绳下滑．K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动．不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)小环所受摩擦力的大小； (2)Q杆所受拉力的瞬时功率． 题型五电容放电式：
1．电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动。 2．电流的特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时产生阻碍放电的反电动势，导致电流减小，直至电流为零，此时UC=Blv 3．运动特点 a渐小的加速运动，最终做匀速运动。
4．最终特征：匀速运动，但此时电容器带电量不为零
易错点：认为电容器最终带电量为零 7．几种变化 (1)导轨不光滑
(2) 光滑但磁场与导轨不垂直 【典例8】如图所示，在水平面内有一个半径为a的金属圆盘，处在竖直向下磁感应强度为B的匀强磁场中，金属圆盘绕中心O顺时针匀速转动，圆盘的边缘和中心分别通过电刷与右侧电路相连，圆盘的边缘和中心之间的等效电阻为r，外电阻为R，电容器的电容为C，单刀双掷开关S与触头1闭合，电路稳定时理想电压表读数为U，右侧光滑平行水平导轨足够长，处在竖直向下磁感强度也为B的匀强磁场中，两导轨电阻不计，间距为L，导轨上垂直放置质量为m，电阻也为R的导体棒，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，求：
（1）金属圆盘匀速转动的角度ω； （2）开关S与触头2闭合后，导体棒运动稳定时的速度v． 题型六电动式单棒
1．电路特点：导体为电动边，运动后产生反电动势（等效于电机）。 2．安培力的特点 安培力为运动动力，并随速度减小而减小。
3.加速度特点：加速度随速度增大而减小
4．运动特点 a减小的加速运动
5．最终特征：匀速运动 6．两个极值 (1)最大加速度： v=0时,E反=0,电流、加速度最大
最大速度：稳定时，速度最大，电流最小
7.稳定后的能量转化规律
8. 起动过程中的三个规律 （1）动量关系：
(2) 能量关系：
(3) 瞬时加速度：
9．几种变化 (1)导轨不光滑
（2）倾斜导轨
(3) 有初速度
(4) 磁场方向变化
【典例9】如图所示，水平放置的足够长平行导轨MN、PQ的间距为L=0.1m，电源的电动势E=10V，内阻r=0.1Ω，金属杆EF的质量为m=1kg，其有效电阻为R=0.4Ω，其与导轨间的动摩擦因素为μ=0.1，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，现在闭合开关，求： （1）闭合开关瞬间，金属杆的加速度； （2）金属杆所能达到的最大速度； （3）当其速度为v=20m/s时杆的加速度为多大？（g=10m/s2，不计其它阻力）．
【典例10】如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距l=0.5m,，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m =0.1kg、电阻R=0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E =1.5V、内电阻r =0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：
（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？ （2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ =7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）． 题型七电容无外力充电式
1．电路特点 导体棒相当于电源;电容器被充电. 2．电流的特点 导体棒相当于电源;F安为阻力，棒减速,E减小，有
I感渐小，电容器被充电。UC渐大，阻碍电流，当Blv=UC时，I=0，F安=0，棒匀速运动。 3．运动特点：a渐小的加速运动，最终做匀速运动。 4．最终特征：匀速运动，但此时电容器带电量不为零
5．最终速度 电容器充电量：q=CU = 最终导体棒的感应电动势等于电容两端电压：U=Blv
【典例11】光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。
题型八电容有外力充电式 1．电路特点 导体为发电边；电容器被充电。
4．几种变化： (1)导轨不光滑
（2）恒力的提供方式不同
（3）电路的变化
【典例12】如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动.现让ab由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？
【精选针对训练】 1. 如图所示，开口向下的导线框固定在竖直平面内,上端有一开关，线框处于与其平面垂直的匀强磁场中,磁场的宽度为h.一导体棒开始时静止于A位置,然后释放,导体棒刚进入磁场时，闭合开关S.用x表示导体棒进入磁场后的位移，i表示棒中的感应电流大小，v表示导体棒的速度大小，EK表示导体棒的动能，a表示导体棒的加速度大小，导体棒与线框的两个边垂直并接触良好．以下图像可能正确的是()
2. 如图所示,间距为l的足够长光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置,一磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面,导轨的上端M与P间连接阻值为R的电阻,质量为m、电阻为r的金属棒ab紧贴在导轨上.现使金属棒ab由静止开始下滑,经时间t下落距离h后达到最大速度,导轨电阻不计,重力加速度为g.以下判断正确的是()
A．流过金属棒ab的电流方向为由a到b B．从开始运动到达到最大速度的时间内，通过金属棒ab的电荷量为Blh/(R＋r) C．金属棒的最大速度为mg(R＋r)/2B2l2 D．整个下落过程中金属棒ab减少的重力势能全部转化为电能 3.在倾角为θ、足够长的光滑斜面上,存在着两个磁感应强度相等的匀强磁场,磁场方向一个垂直斜面向上,另一个垂直斜面向下,宽度均为L,如图6所示.一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形线框abcd.在t＝0时刻以速度v0进入磁场,好做匀速直线运动.经过时间t0线框ab边到达gg′与ff′正中间位置时框又恰好开始做匀速运动，则下列说法正确的是()
A．当ab边刚越过ff′时，线框加速度的大小为3gsin θ B．t0时刻线框匀速运动的速度为v0/2 C．t0时间内线框中产生的热量为3/2mgLsin θ＋15/32mv02 D．线框离开磁场的过程中一直做匀速直线运动 4.如图所示，在水平桌面上放置两条相距l的平行光滑导轨ab与cd,阻值为R的电阻与导轨的a、c端相连.质量为m、边长为l、电阻不计的正方形线框垂直于导轨并可在导轨上滑动.整个装置放于匀强磁场中,磁场的方向竖直向上,磁感应强度的大小为B.线框的中点系一不可伸长的轻绳,绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后,与一个质量也为m的物块相连,绳处于拉直状态.现若从静止开始释放物块,用h表示物块下落的高度(物块不会触地),g表示重力加速度,其他电阻不计,则(）
A.因通过正方形线框的磁通量始终不变,故电阻R中没有感应电流 B.物块下落的加速度为0.5g C.若h足够大，物块下落的最大速度为mgR/B2l2 D.通过电阻R的电荷量为Blh/R 5.如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L=1 m.导轨平面与水平面成θ＝37°角，下端连接阻值为R＝4 Ω的电阻.匀强磁场方向垂直于导轨平面向下，磁感应强度为B＝1 T.质量m＝0.4 kg、电阻r＝1 Ω的金属棒放在两导轨上,棒与导轨垂直且接触良好，它们间的动摩擦因数μ＝0.25，金属棒以初速度v0＝20 m/s沿导轨滑下，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)金属棒沿导轨下滑的最大加速度； (2)金属棒下滑时电阻R消耗的最小功率． 6. 光滑平行的金属导轨MN和PQ，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝30°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝2.0 Ω的电阻，其它电阻不计，质量m＝2.0 kg的金属杆ab垂直导轨放置，如图甲所示．用恒力F沿导轨平面向上拉金属直杆ab，由静止开始运动，vt图像如图乙所示，g＝10 m/s2，导轨足够长．求：
(1)恒力F的大小； (2)根据vt图像估算在前0.8 s内电阻上产生的热量． 7. 如图所示，两条平行的足够长的光滑金属导轨与水平面成α＝37°角，导轨间距离L＝0.6 m，其上端接一电容和一固定电阻，电容C＝10 μF，固定电阻R＝4.5 Ω.导体棒ab与导轨垂直且水平，其质量m＝3×10-2kg，电阻r＝0.5 Ω.整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，已知磁感应强度B＝0.5 T，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.现将ab棒由静止释放，当它下滑的速度达到稳定时，求：
(1)此时通过ab棒的电流； (2)ab棒的速度大小； (3)电容C与a端相连的极板所带的电荷量． 8. 平行金属导轨MN竖直放置于绝缘水平地板上如图所示，金属杆PQ可以紧贴导轨无摩擦滑动，导轨间除固定电阻R外，其他电阻不计，匀强磁场B垂直穿过导轨平面，导体棒PQ质量为M，闭合S，同时让金属杆PQ自由下落，试确定稳定时， (1)金属杆的速度是多少？ (2)若将固定电阻R换成一个耐压值足够大的电容器，电容为C.闭合S的同时，释放金属杆，试求稳定状态下回路的电流．
9. 如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为l＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m＝0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2 T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止，取g＝10 m/s2，问：
(1)通过棒cd的电流I是多少，方向如何？ (2)棒ab受到的力F多大？ (3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功W是多少？ |
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