小学奥数-等差数列

1.按照一定规律排列起来的一串数叫做数列，数列中的每一个数叫做一项，从左起第一个数叫做第一项，也叫首项；第二个数叫做第二项·····最后一个数叫做末项，数列里项的个数叫做项数。

2.一组数，如果从第二个数开始，每一项减去它紧邻前面的一项，所得的差都相等，具有这种特点的一组排列在一起的数列，叫做等差数列，每一项减去它的前一项所得的差叫做公差。

3.等差数列的基本公式：

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2；

公差=第二项－首项；

项数=（末项－首项）÷公差+1；

等差数列的第n项=首项+（n-1）×公差；

首项=末项-公差×（项数-1）。

精讲1：计算（1+3+5+7+······+1997+1999）-（2+4+6+······+1996+1998）

分析：通过观察我们不难发现：前后两个括号里的数都是等差数列求和，因此可以先分别求出两个等差数列的和，再把两个和相减，通过观察比较容易发现：第一个括号里的等差数列公差为2，项数为1000项；第二个括号里的等差数列公差也为2，项数为999项。

解：（1+3+5+7+······+1997+1999）－（2+4+6+······+1996+1998）

=（1+1999）×1000÷2－（2+1998）×999÷2

=1000

精讲2：计算3+7+11+······+99

分析：题中所有加数是一个公差为4的等差数列，首项是3，末项是99，要求这个等差数列的和还必须知道项数：项数=（末项－首项）÷公差+1.求出了项数，我们就可以根据求和公式求出和。

解：项数为：（99－3）÷4+1=25

原式=（3+99）×25÷2=1275

精讲3：有60个数，第一个数是7，从第二个数开始，后一个数比前一个数多4，求这60个数的和。

分析：通过分析题意，我们知道：这是一个公差为4的等差数列，要求这个等差数列的和，必须知道首项、末项和项数。但题中只告诉了首项和项数，没有告诉我们末项，因此必须先求出末项，末项=首项+公差×（项数－1）。

解：末项为：7+4×（60－1）=243

60个数的和为：（7+243）×60÷2=7500

答：这60个数的和为7500。

精讲4：一个大礼堂 ，第一排有28个座位，以后每排比前一排多1个座位，第35排是最后一排，这个大礼堂共有多少个座位？

分析：从题中可以看出，大礼堂的各排座位数是一个公差为1的等差数列，求大礼堂共有多少个座位，实际上是求这个等差数列的和。已知首项是28，项数是35，第35排的座位数可以看成是末项，末项没有直接告诉我们，我们可以先求出末项，再求和。

解：末项为：28+1×（35－1）=62

35排共有座位数：（28+62）×35÷2=1575（个）

答：这个大礼堂共有1575个座位。

精讲5：把100根小棒分成10堆，每堆都是单数，一堆比一堆少2根，应如何分？

分析：根据题意可知这是项数是10，公差是2，数列和是100的等差数列。

解：设第十堆有x根，那么第一堆有x+（10-1）×2根，则：

{x+（10-1）×2+x}×10÷2=100

（2x+18）×5=100

2x+18=20

x=1

答：第十堆到第一堆分的个数分别是：1、3、5、7、9、​11、13、​15、17、19。​