难点拓展 | 匀变速直线运动的速度与位移的关系

匀变速直线运动问题中三个基本公式的选择

应用：三个基本公式及推论，一共四个公式，共涉及五个物理量（ v0、 v、t、a、x）。只要知道三个量，就可以求其他两个量。

匀变速直线运动两个特殊点的速度

 ①时间中点的瞬时速度

②位移中点的瞬时速度

    

比较大小——公式法

所以中间时刻瞬时速度总小于中间位移瞬时速度

1. 如图所示为上、下两端相距L=5m、倾角α=30°、始终以v=3m/s的速率顺时针转动的传送带（传送带始终绷紧）．将一物体放在传送带的上端由静止释放滑下，经过t=2s到达下端．重力加速度g取10m/s²，求：

（1）传送带与物体间的动摩擦因数多大？
（2）如果将传送带逆时针转动，速率至少多大时，物体从传送带上端由静止释放能最快地到达下端？

（1）传送带顺时针转动，物块下滑时受到的向上的滑动摩擦力，根据运动学基本公式及牛顿第二定律列式即可求解

动摩擦因数；

（2）如果传送带逆时针转动，要使物体从传 送带上端由静止释放能最快地到达下端，则需 要物体有沿传送带向下的最大加速度即所受摩擦力沿传送带向下，根据牛顿第二定律求出最大加速度，再根据匀加速运动位移速度公式求解．

【解析】
（1）传送带顺时针转动，有题意得：
L=

解得：a=2.5m/s²
根据牛顿第二定律得：
mgsinα-μmgcosα=ma

解得：μ=

（2）如果传送带逆时针转动，要使物体从传送带上端由静止释放能最快地到达下端，则需要物体有沿传送带向下的最大加速度即所受摩擦力沿传送带向下，设此时传送带速度为v_m，物体加速度为a'．
由牛顿第二定律得 mgsinα+F_f=ma′
而F_f=μmgcosα                
根据位移速度公式得：v_m²=2La'

解得：v_m=8.66m/s

答：

（1）传送带与物体间的动摩擦因数为0.29；

（2）如果将传送带逆时针转动，速率至少8.66m/s时，物体从传送带上端由静止释放能最快地到达下端．

2. 如图所示，质量M=5kg、上表面光滑的长度为L=1m的木板，在F=25N的水平拉力作用下，以初速度v=5m/s沿水平地面向右匀速运动．现有足够多的小铁块（可视为质点），它们的质量均为m=1kg，将一小铁块无初速地放在木板的最右端，当木板运动了L时，又无初速地在木板的最右端放上第2块小铁块，只要木板运动了L就在木板的最右端无初速放一小铁块．取g=10m/s²．试问

（1）第1块小铁块放上后，木板运动L时，木板的速度多大？
（2）最后放在木板上的小铁块是第几块？

（1）放上小铁块后，木板减速运动，根据牛顿第二定律和运动学规律来计算速度的大小；

（2）木板一直做减速运动，根据速度位移间的关系可以求得运动的总共位移的大小，从而得到小铁块的数目．

【解析】
（l）木板最初做匀速运动时，F=μmg…①
第1块小铁块放在木板上后，木板做匀减速运动的加速度大小为a，
根据牛顿第二定律得：μ（M+m）g-F=Ma…②
…③
联立方程①②③得：

（2）由于木板的长度为1m．总有一块小铁块在木板上，
木板做匀减速运动的加速度大小一直为a，
设最后放在木板上的小铁块是第n块，即有：…④
联立方程②④得：n=13.5
最后放在木板上的小铁块是第13块．

答：

（1）第1块小铁块放上后，木板运动L时，木板的速度为4.8m/s；
（2）最后放在木板上的小铁块是第13块．

压轴3. 如图所示，水平传送带顺时针转动，转速v=2m/s，左右两端长L=6m．传送带左端有一顶端高为h=1.8m的光滑斜面轨道，斜面底端有一小段圆弧与传送带平滑连接．传送带右端有一竖直放置的光滑圆弧轨道MNP，半径为R，M、O、N在同一竖直线上，P点到传送带顶端的竖直距离也为R．一质量为m=0.6kg的物块自斜面的顶端由静止释放，之后从传送带右端水平抛出，并恰好由P点沿切线落入圆轨道，已知物块与传送带之间的滑动摩擦因数μ=0.4，OP连线与竖直方向夹角θ=60°．（g=10m/s²）求：

（1）竖直圆弧轨道的半径R；
（2）物块运动到N点时对轨道的压力；
（3）试判断物块能否到达最高点M，若不能，请说明理由；若能，求出物块在M点对轨道的压力．

（1）分析物块在各个阶段上的运动情况，从而计算出物块做平抛运动的初速度，结合平抛运动的知识得知抛出点到P的竖直高度，即为圆弧轨道的半径R．

（2）通过对物块在P点时的速度的分解可得知此时的速度，有P到最低点的过程中只有重力做功，可得知在最低点的速度大小，合力提供向心力，结合牛顿第二定律可得知物块所受到的支持力的大小，再用牛顿第三定律得知物块对管道的压力．

（3）物块在圆弧形轨道内运动的过程中，只有重力做功，由动能定理可判断物块是否能到达最高点M点

（1）设到达斜面最低点的速度为v，由机械能守恒得：
解得：v===6m/s＞2m/s
所以，物体在传送带上先做减速运动：
设减速至带速需位移为x，则有：
解得：x==4m＜6m
所以后2m物体做匀速运动，以v=2m/s的速度平抛，在P处由速度分解得：
又因

所以解得：R=0.6m

（2）在P处由速度分解得：
从P到N由动能定理得：
在N点：
联立以上二式并代入数据解得：N=28N

由牛顿第三定律得，物体对轨道的压力为28N，方向竖直向下．

（3）恰好通过M点时有：
得：v_m===m/s
假设能到达M点，从P到M由动能定理得：

代入数据解得：＜m/s，所以不能通过最高点M．

答：

（1）竖直圆弧轨道的半径R为0.6m；

（2）物块运动到N点时对轨道的压力为28N；

（3）物块不能到达最高点M．

每日一题解析

汽车紧急刹车后停止转动的轮胎在地面上发生滑动时留下的痕迹长度为1m，汽车轮胎与地面间的动摩擦因数恒为0.2，重力加速度取10m/s2，问：

（1）刹车时汽车的加速度多大？
（2）刹车前汽车的速度多大？
（3）开始刹车后经过0.5s和2s，汽车的位移分别有多大？

（1）对汽车受力分析，受重力、支持力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律列方程求解加速度；

（2）汽车刹车是匀减速直线运动，已知位移、末速度和加速度，根据速度位移关系公式列式求解即可．

【解析】
（1）设汽车刹车后滑动的加速度大小为a，由牛顿第二定律可得
μmg=ma，

故  a=μg=2m/s2           

                                 

（2）由匀变速直线运动速度-位移关系式v2=2ax，

可得汽车刹车前的速度为=2m/s             

（3）由匀变速直线运动速度公式     v=at，
可得汽车从开始刹车到停下经历的时间为
t===1s．                     
所以，开始刹车后经过0.5s，汽车的位移为
x==2×=0.75m；                 
开始刹车后经过2s与经过1s的位移相等，

所以汽车的位移为  x2=x=1m．

答：

（1）刹车时汽车的加速度大小为2m/s2；

（2）刹车前汽车的速度为2m/s；
（3）开始刹车后经过0.5s的位移为0.75m，经过2s汽车的位移为1m．

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