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（一）整数和小数 1、整数和自然数 像…-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数统称为（整数）。整数的个数是（无限）的。 数物体的时候,用来表示物体个数的0,1,2,3…叫做（自然数）。 自然数是整数的（一部分）。（“1”）是自然数的单位。最小的自然数是（ 0 ）。 2、小数 小数表示的就是十分之几，百分之几，千分之几……的数，一位小数可表示为十分之几的数，两位小数可表示为百分之几的数，三位小数可表示为千分之几的数 …… 小数点右边第一位是（十分位）,计数单位是（十分之一）;第二位是（百分位）,计数单位是（百分之一）…… 小数部分有几个数位,就叫做几位小数。 如3.305是（ 三 ）位小数 3、整数、小数的读法和写法： 读整数时注意先分级再读数。 读小数时注意小数部分顺次读出每个数位上的数。 写数时注意写好后，一定要读一读仔细校对。 为了读写方便,常常把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。 如只要求“改写”，结果应是准确数。 768000000 =（ ）亿 如要求“省略”万（亿）后面的尾数，结果应是近似数。 768000000≈（ ）亿 4、小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变. 5、小数点向右(左)移动一位、两位、三位……原来的数就扩大(缩小)10倍、100倍、1000倍…… 6、正数、负数 0既不是正数也不是负数，0是正数和负数的分界点。 负数＜0＜正数 两个负数比较，负号后面的数越大这个数反而越小。 -6.8＜-0.4 -2＞-10 （二）因数和倍数 1、因数和倍数 一个数的最小因数是1，最大的因数是它本身。一个数的因数的个数是有限的。 一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。一个数的倍数的个数是无限的。 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0） 2、奇数、偶数 自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 最小的偶数是（ 0 ）最小的奇数是（ 1 ） 在全部自然数中，不是奇数就是偶数。 奇数±偶数=（奇数） 奇数±奇数=（偶数） 偶数±偶数=(偶数) 奇数×偶数=（偶数） 奇数×奇数=（奇数） 偶数×偶数=(偶数) 3、 2，3，5的倍数特征： 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 例如: 70 32 14 56 158 个位上是0或5的数，是5的倍数。 例如: 70 655 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 例如: 45 876 4、质数、合数 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数） 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （ 1 ）不是质数也不是合数，最小的质数是（ 2 ），最小的合数是（ 4 ） 100以内的质数：2 、3、 5、 7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 。 5、公因数、最大公因数;公倍数、最小公倍数 几个数公有的因数,叫做这几个数的（公因数）；其中最大的一个叫做这几个数的（最大公因数）。 几个数公有的倍数,叫做这几个数的（公倍数）；其中最小的一个叫做这几个数的（最小公倍数）。 公因数只有1的两个数叫做(互质数)。 互质数的几种情况： ⑴、两个数都是质数,这两个数一定互质。（如5和13） ⑵、相邻的两个数一定互质。（如8和9） ⑶、1和任何数都互质。（如1和8） (4)、两个都是合数或一个质数一个合数。（如4和25 11和15） (5)、两个数互质，最小公倍数是他们的乘积。（如7和11，最小公倍数为77） 如两个数是倍数关系,那么较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。 例：4和28 最大公因数是( ); 最小公倍数是( ) 如果两个数是互质关系，它们的最大公因数就是1；最小公倍数就是它们的积。 例：4和15 最大公因数是( ); 最小公倍数是( ) （三）分数和百分数 1) 在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。 一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。 2) 一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。 3) 把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数叫分数单位。如， 的分数单位是 4) a÷b＝a/b ＜b≠0＞（被除数÷除数＝被除数/除数 ） 5) 分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。 6) 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数大小不变。 7）表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或者百分比。 百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“%”，百分数后面不能带单位名称。 “几成”就是十分之几，也就是百分之几十。 如：五成表示（ ）% “折扣”表示某种商品降价的幅度。 如：75折就表示现价是原价（ ）% 8）大小比较：当小数、分数、百分数混合比较大小时，一般先把各类统一成小数进行比较。 如：把0.7 67% 0.667 从小到大排列。 （四）四则运算： 1）运算顺序：加减乘除混合的算式要（先乘除后加减）；只有加减法或只有乘除法就要（从左到右）。 2）运算定律： 加法交换率：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c) 乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合律：（a×b）×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b)×c=a×c+b×c 减法运算性质：a―b―c = a―(b+c) 除法运算性质：a÷b÷c = a÷( b×c ） (五)比和比例 1、意义和性质 比：两个数相除又叫做两个数的比。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 比例：表示两个比相等的式子叫做比例。 在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 2、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比叫做比例尺。 图上距离：实际距离=比例尺 3、按比分配 例：用120cm的铁丝做一个长方形的框架。长、宽、高的比是3：2：1。这个长方形的长、宽、高分别是多少？ 120÷4＝30（cm）-----先求出一组的长宽高的长度。 30÷（3+2+1）=5（cm）-----再求出一份的长度。 最后分别求出长方形的长、宽、高： 1）熟记以下关系式以便于判断： 速度×时间=路程 工作效率×工作时间=工作总量 单价×数量=总价 出勤人数÷总人数=出勤率 出油（粉、米）质量÷大豆（总）质量=出油（粉、米）率 每天读的页数×读的天数=总页数 2）熟记以下两种量的关系： 同时同地的竿高和影长成（ 正 ）比例。 同时同地的竿高和影长的比值一定。 正方形的边长和周长成（ 正 ）比例。 正方形的周长÷边长 = 4 （一定） 正方形的面积和边长（ 不成 ）比例。 正方形的面积÷边长 = 边长 长方形的周长一定，长和宽（ 不成 ）比例。 （长+宽）× 2 = 周长 长方形的面积一定，长和宽成（ 反）比例。 长×宽=面积（一定） 圆的面积和半径（ 不成 ）比例 。 圆的面积 ÷ 半径的平方 = π（一定） 圆柱体积一定，底面积和高成（ 反 ）比例。 圆柱底面积×高 = 体积（一定） 圆锥体积一定，底面积和高成（ 反 ）比例。 圆锥底面积×高÷3=体积（一定） 圆锥底面积×高 = 体积 （六）常见的量 1、熟记每种量中一些特殊的进率。(长度、面积、体积、容积、重量) 2、记得一些常用的量，以便比较判断： 面积1cm2 （指甲面） 1dm2 （手掌） 1m2 （半扇门面） 1公顷（两个操场） 体积1cm3 （色子） 1dm3（粉笔盒） 1m3 （讲台桌） 容积10ml（口服液） 1L（中瓶一鸣奶） 重量1克（一分硬币） 1千克（一包味精） 1吨（一只小象） 例：4.8平方千米=（ ）公顷 78分=（ ）小时 （七）空间与图形 1、熟记平面图形周长和面积计算公式： 熟记立体图形表面积和体积计算公式： 特别提醒：圆柱的侧面积是：底面周长×高 圆柱的体积是：底面积×高 2、三角形： 分类： 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 三角形内角和是（ 180 ）度。 顶角是60o等腰三角形一定是（ 等边 ）三角形。 三角形中最小的角是46o，这一定是（ 锐角 ）三角形。 有两个角是45o的角一定是（ 直角 ）三角形。 3、长方形：把一个长方形拉成平行四边形，周长（ 不变 ），面积（ 变小 ）。 4、圆：圆的半径扩大2倍，它的周长扩大（ 2 ）倍，面积扩大（ 4 ）倍。 任何圆的周长是直径的（ π ）倍。 5、长方体： 长方体的长、宽、高（或正方体的棱长）都变为原来的2（3）倍，那么它的总棱长也扩大2（3）倍，面积会扩大4（9）倍，体积会扩大8（27）倍。 6、圆柱圆锥： 圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的（ 3倍 ）。把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，把圆锥体积看成（1份），可把削去部分的体积看成（2份），圆柱的体积就有这样的（3份）。 7、一个物体完全浸没在水中，这个物体的体积就水面上升那部分水的体积。 （八）图形和变换： 1、对称：一个图形沿对称轴对折后完全重合。 作图要求：先找对应点再连线。 2、平移：平移后图形完全相同，大小方向都不变。 作图要求：先找对应点再连线。 3、旋转：注意按顺时针还是逆时针旋转，旋转后图形的大小形状形同，只是方向变了。 作图提示：遇到稍难的题可先把原图画在练习纸上，用笔顶住“o”点按要求转动，再照样画。 4、放大缩小：如按2：1放大，各边都要放大到原来的2倍。 提示：作图之后一定要检查对比。 （九）统计和可能性 1、统计图分类： 条形统计图-------能直观地看出各种数量的多少 折线统计图-------不但可以表示出数量的多少，而且能清楚地表示出数量增减变化情况。 扇形统计图-------可以清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系。 2、可能性： 可能性是一个数与另一个数的比，任何事件发生的可能性大小一般在0-100%之间。 求可能性大小：在盒子里放1个红球，3个黄球。 任意摸出一个球，摸出红球的可能性是（列式计算）： 任意摸出一个球，摸出黄球的可能性是（列式计算）： （十）综合应用 1、一般实际问题： 熟记常用的数量关系：单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×工作时间=工作总量 单位产量×总面积=总产量 2、典型实际问题： （1）求平均数：总数量÷总份数=平均数 例1：小东读一本故事书，前3天共读81页，后4天共读136页，小东平均每天读多少页？ 想：总读页数÷总天数=平均每天读的页数 列式：（81+136）÷（3+4） 例2：小明的语文、数学、英语、三科平均分是93分，其中语文90分，数学98分，那么英语是多少分？ 想：先求总分再减去语文数学的分数。 列式：93×3-（90+98）=91（分） 例3：小东数学成绩前两次的平均分是85分，而后三次的平均分是90分，第三次成绩是多少分? 想：先求前两次总分。 85×2=170（分） 再求三次总分。 90×3=270（分） 三次总分减去前两次总分就是第三次成绩。 270-170=100（分） （2）先求一份是多少的问题 （总数÷份数= 一份数） 例：45头马每天要吃干草540千克。照这样计算，如果增加5头马，每天共吃干草多少千克？ 想：先求一头马每天吃多少？ 540÷45=12（千克） 再求（45+5）头马每天共吃多少? 12×(45+5)=600(千克) 例：某矿泉水进货时4瓶5元，售出时每瓶1.5元，要想获利300元，需售出矿泉水多少瓶？ 想：先求出每瓶多少元？ 5÷4=1.25（元） 再求出每瓶获利多少元？ 1.5-1.25=0.25（元） 最后求300元里面有几个0.25元就是需售出多少瓶。 300÷0.25=1200（元） （3）先求总数，再求每份是多少，或有这样的几份 例：一个工程队修一条公路，原计划每天修450米，80天完成，现在要求提前20天完成，平均每天应修多少米？ 想：先求这条公路全长多少米？ 450×80=36000（米） 再求现在平均每天应修多少米？ 36000÷（80-20）=600（米） （4）相遇问题 （路程÷速度和=相遇时间） 例：两地相距275千米，客车与货车分别从两地同时相对开出，客车每小时行60千米，火车每小时行50千米，开出几小时后两车相遇？ 275÷（60+50）= 2.5(小时) 3、分数、百分数问题 （1）求A是B的几分之几（或百分之几） 方法：确定谁是单位“1” B是单位“1” A÷B 例：六（1）班男生25人，女生20人。 男生人数是女生的几分之几（百分之几）？ 25÷20 男生人数占全班的几分之几（百分之几）？ 25÷（25+20） （2）求A比B多（少、增加、减少、提高、降低）百分之几？ 方法：（多、少、增加、减少、提高、降低）的量÷单位“1” 例：现在买一台收音机用160元，比过去少用85元，收音机售价降低了百分之几 ？ 想：求降低百分之几就是求降低的价钱占原价的百分之几，即降低的价钱÷原价 85÷（160+85） （3）求A的几分之几（或百分之几）是多少？ 方法：单位“1”的量×分率（百分率）=分率对应量 例2：一个书包原价50元，现价比原价降低10%，现价多少元？ 50×（1-10%） （4）已知A的几分之几（或百分之几）是多少，求A 方法：对应量÷对应分率=单位“1”的量 （5）生活实际问题 出租车收费问题： 小丽家到学校5300米，一天她从家坐出租车到学校，需付车费多少元?（收费标准如右图） 起步价10元（4km以内含4km），超过4km每增加1km加1.5元，并外加燃油费1元。 5300=4000+1000+300 相当于10元+1.5元+1.5元+1元 常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形 （C：周长 S：面积 a：边长） 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体 （V:体积 a:棱长 ） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体 （V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高） 表面积＝(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) 体积=长×宽×高 V=abh 5、三角形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高 6、平行四边形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高 s=ah 7、梯形 （s：面积 a：上底 b：下底 h：高） 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8、圆形 （S：面积 C：周长 л d=直径 r=半径） 周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr 面积=半径×半径×л 9、圆柱体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лrh或лdh) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径） 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式： (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 13、和倍问题： 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (和－小数＝大数) 14、差倍问题：差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数) 15、相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 16、浓度问题 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 17、利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 18、常用单位换算 长度单位换算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方米=1000升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 重量单位换算 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月 平年2月28天, 闰年2月29天；平年全年365天, 闰年全年366天。 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 |
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