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1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底． 2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同) (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b. (2)两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (3)向量的数量积的性质 ①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a＝a2； ④|a·b|≤|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)． 3．空间向量的坐标运算 (1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3， a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0， a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， cos〈a，b〉＝＝ . (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个． (2)平面的法向量 ①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． ②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 5．空间位置关系的向量表示
1．辨明四个易误点 (1)注意向量夹角与两直线夹角的区别． (2)共线向量定理中a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的． (4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a·b)c＝a(b·c)不一定成立． 2．建立空间直角坐标系的原则 (1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直． (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．
1．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( ) A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 C [解析] 因为c＝(－4，－6，2)＝2a，所以a∥c.又a·b＝0，故a⊥b. 2．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为( ) A．(3，0，0) B．(0，3，0) C．(0，0，3) D．(0，0，－3) C [解析] 设P(0，0，z)，则有
＝，解得z＝3. 3. A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c A [解析] 由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝＋＝＋(－) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 4. 已知a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________． [解析] 因为a＝(2，4，x)，|a|＝6，则x＝±4， 又b＝(2，y，2)，a⊥b， 当x＝4时，y＝－3，x＋y＝1. 当x＝－4时，y＝1，x＋y＝－3. [答案] 1或－3 5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________． [解析] 因为α∥β，所以u1∥u2，所以＝＝， 所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3. [答案] －3
[典例引领]
如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简－－＝________． (2)用，，表示，则＝________． 【解析】 (1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝. (2)因为＝＝(＋)． 所以＝＋＝(＋)＋ ＝＋＋. 【答案】 (1) (2)＋＋
若本例条件不变，结论改为：设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值． [解] ＝＋ ＝－＋(＋) ＝－－， 由条件知，x＝，y＝－，z＝－. 用基向量表示指定向量的方法 (1)应结合已知和所求向量观察图形． (2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．
如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)＋. [解] (1)因为P是C1D1的中点， 所以＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)因为M是AA1的中点， 所以＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. 因为N是BC的中点， 所以＝＋ ＝＋ ＝＋＝c＋a， 所以＋＝＋ ＝a＋b＋c.
[典例引领]
(1)E，F，G，H四点共面； (2)BD∥平面EFGH. 【证明】 (1)连接BG(图略)， 则＝＋＝＋(＋) ＝＋＋＝＋， 由共面向量定理的推论知，E，F，G，H四点共面． (2)因为＝－＝－＝(－) ＝，所以EH∥BD． 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH.
(1)证明空间三点P、A、B共线的方法 ①＝λ(λ∈R)； ②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)； ③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)． (2)证明空间四点P、M、A、B共面的方法 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥或∥)．
(1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． [解] (1)由题知＋＋＝3， 所以－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， 所以，，共面． (2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面， 从而点M在平面ABC内．
[典例引领]
A．1 B．2 C．4 D．8 (2)正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( ) A. B． C. D． (3)已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________． 【解析】 (1)由题图知，AB与上底面垂直，因此AB⊥BPi(i＝1，2，…，8)，·＝||||cos∠BAPi＝||·||＝1(i＝1，2，…，8)．故选A. (2)不妨设正方体的棱长
为1，如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，平面ACD1的法向量为＝(1，1，1)，又＝(0，0，1)，所以cos〈，〉＝＝＝， 所以BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ＝. (3)λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3. 【答案】 (1)A (2)D (3)3
(1)空间向量数量积计算的两种方法 ①基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． ②坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0. ②|a|＝. ③cos〈a，b〉＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值； (2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． [解] 因为A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a＝，b＝，所以a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)． (1)cos θ＝＝＝－， 所以a和b的夹角θ的余弦值为－. (2)因为ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)， ka－2b＝(k＋2，k，－4)且(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝－或k＝2.
空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点． 高考对空间向量解决此类问题有以下两个命题角度： (1)证明平行问题； (2)证明垂直问题． [典例引领]
(2)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点． 求证：PB∥平面EFG. 【证明】 (1)由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在
直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B1(3，0，6)，D(0，6，0)，D1(0，3，6)，Q(6，m，0)，其中m＝BQ，0≤m≤6. 若P是DD1的中点， 则P，＝(6，m－，－3)． 又＝(3，0，6)，于是·＝18－18＝0， 所以⊥，即AB1⊥PQ.
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)， 设＝s＋t， 即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)， 所以解得s＝t＝2. 所以＝2＋2， 又因为与不共线， 所以与，共面． 因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG.
(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤 ①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； ②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； ③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题． (2)空间线面位置关系的坐标表示 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)． ①线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. ②线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. ③线面平行(l⊄α) l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. ④线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. ⑤面面平行 α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4. ⑥面面垂直 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. [题点通关]
1.
如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．利用向量方法证明：直线MN∥平面OCD． [证明] 作AP⊥CD于点P，
连接OP，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则P，D，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N，＝，＝，＝. 设平面OCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，n·＝0，即 取z＝，得n＝(0，4，)． 因为·n＝·(0，4，)＝0， 所以⊥n，且MN⊄平面OCD，所以MN∥平面OCD．
2．如图， (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC. [证明]
(1) 则O(0，0，0)，A(0，－3，0)， B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)． 于是＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)， 所以·＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0， 所以⊥，即AP⊥BC. (2)连接MB，MC.由(1)知AP＝5， 又AM＝3，且点M在线段AP上， 所以＝＝，又＝(－4，－5，0)， 所以＝＋＝， 则·＝(0，3，4)·＝0， 所以⊥，即AP⊥BM， 又根据(1)的结论知AP⊥BC， 所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC. 又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.
1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( ) A．－2 B．－ C. D．2 D [解析] 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 2．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( ) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 B [解析] 由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又与没有公共点．所以AB∥CD． 3．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( ) A. B．9 C. D． D [解析] 由题意知存在实数x，y使得c＝xa＋yb， 即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)， 由此得方程组 解得x＝，y＝，所以λ＝－＝. 4．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．不确定 B [解析] 如图，
令＝a，＝b，＝c， 则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
5.
5.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为( ) A．(1，1，1) B． C. D．(1，1，2) A [解析] 设P(0，0，z)， 依题意知A(2，0，0)，B(2，2，0)，则E， 于是＝(0，0，z)，＝， cos〈，〉＝＝＝. 解得z＝±2，由题图知z＝2，故E(1，1，1)． 6．(2017·唐山统考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝1，N为B1B的中点，则||为( ) A.a B．a C.a D．a
则A(a，0，0)，C1(0，a，a)， N.设M(x，y，z)， 因为点M在AC1上且＝，所以(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，所以x＝a，y＝，z＝. 所以M，所以|| ＝ ＝a. 7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，点Q在平面yOz上，则垂足Q的坐标为________． [解析] 由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影， 所以垂足Q的坐标为(0，，)． [答案] (0，，) 8．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为__________． [解析] 由题意知＝(6，－2，－3)， ＝(x－4，3，－6)． 又·＝0，||＝||，可得x＝2. [答案] 2 9．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________． [解析] 由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10. 即2a·c＋b·c＝－10，又因为a·c＝4，所以b·c＝－18， 所以cos〈b，c〉＝＝＝－， 所以〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为60°. [答案] 60° 10．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a、b、c表示向量＝________． [解析] 如图所示，
＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)． [答案] (b＋c－a) 11.
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·； (2)EG的长． [解] 设＝a，＝b，＝c. 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， (1)＝＝c－a，＝－a， ·＝·(－a)＝a2－a·c＝. (2)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝. 12．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积； (2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标． [解] (1)由题意可得： ＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝＝. 所以sin〈，〉＝， 所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为 S＝2×||·||·sin〈，〉 ＝14×＝7. (2)设a＝(x，y，z)， 由题意得 解得或 所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．
13．有下列命题： ①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb； ③若＝x＋y，则P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，则＝x＋y. 其中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 B [解析] ①正确，②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确．④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确． 14．已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________． [解析] 对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，说明当x＝x0，y＝y0时，|b－(xe1＋ye2)|取得最小值1. |b－(xe1＋ye2)|2＝|b|2＋(xe1＋ye2)2－2b·(xe1＋ye2)＝|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y，要使|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y取得最小值，需要把x2＋y2＋xy－4x－5y看成关于x的二次函数，即f(x)＝x2＋(y－4)x＋y2－5y，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝2－，所以当x＝2－时，f(x)取得最小值，代入化简得f(x)＝(y－2)2－7，显然当y＝2时，f(x)min＝－7，此时x＝2－＝1，所以x0＝1，y0＝2.此时|b|2－7＝1，可得|b|＝2. [答案] 1 2 2 15.
如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE. [证明] (1)设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，C(2a，0，0)， B(0，0，a)，D(a，a，0)， E(a，a，2a)． 因为F为CD的中点， 所以F. ＝，＝(a，a，a)， ＝(2a，0，－a)． 因为＝(＋)，AF⊄平面BCE， 所以AF∥平面BCE. (2)因为＝，＝(－a，a，0)， ＝(0，0，－2a)， 所以·＝0，·＝0， 所以AF⊥CD，AF⊥ED． 又CD∩DE＝D，所以AF⊥平面CDE. 又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE. 16．如图，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB．
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； (2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． [解] (1)AB∥平面DEF，理由如下： 在△ABC中， 由E、F分别是AC、BC的中点， 得EF∥AB． 又因为AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF， 所以AB∥平面DEF.
(2)以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)， 则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，故＝(0，，1)． 假设存在点P(x，y，0)满足条件，则＝(x，y，－2)， ·＝y－2＝0， 所以y＝. 又＝(x－2，y，0)，＝(－x，2－y，0)， ∥， 所以(x－2)(2－y)＝－xy， 所以x＋y＝2. 把y＝代入上式得x＝， 所以＝， 所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE，此时＝.
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在平行六面体
