高中数学：数学归纳法在证明数学命题中的应用

知识点：

1、数学归纳法的原理

（1）数学归纳法的定义：数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题，一般是先证明n=时命题成立，然后假设时命题成立。并证明时命题成立。此时命题对所有的正整数n都成立。这种方法叫数学归纳法。

（2）数学归纳法的证题步骤：

①证明时命题正确。

②假设时命题正确，然后证明n=k+1时命题正确。从而断定对一切的正整数n命题都正确。

（3）运用数学归纳法应注意的几个问题：

①第一步验证是基础，在此过程中是要证明命题对象的最小的正整数，不一定是1。

②第二步是在证明时命题正确要充分利用归纳假设，否则不是数学归纳法。即要把假设作为已知条件导出n=k+1时命题正确，当然归纳假设可以用几次。

2、用数学归纳法证明常见的类型

（1）证明正整数有关的等式，弄清等式两边规律，注意由n=k证明n=k+1时等式两边会增加多少项、哪些项等。

（2）证明与正整数有关的不等式，在证明n=k+1时会应用到不等式证明的分析法、综合法、放缩法等。

（3）证明整除问题，在证明n=k+1时要注意“凑项”即增项、减项、因式分解等手段。

 

典型例题：

1、数学归纳法证明整除问题

例1、对任意的正整数n,能被13整除。

证明：当n=1时，=。命题成立

假设n=k时，命题成立，即能被13整除。

当n=k+1时，

=27。

由于能被13整除。

故当n=k+1时，命题成立。

 

2、利用数学归纳法证明关于正整数n的不等式问题

例2、已知函数数列{a_n}满足：，数列{b_n}满足：

（1）用数学归纳法证明

（2）证明：

证明：（1）由已知得：。

当n=1时，，此时命题成立。

假设n=k时命题成立，即，当n=k+1时，

下面只要能证明对任意的正整数n, 就可以证明，用数学归纳法证明：

当n=1时，,命题成立。

假设n=k时，命题成立，即，当n=k+1时，

即对任意的正整数n,，

。

故对任意的正整数n，原不等式成立。

（2）

例3、设数列满足：

（1）证明：对一切正整数n成立。

（2）令

证明（1）：当n=1时，

假设n=k时，结论成立，即，（

当n=k+1时,,由于函数

而，故

=

即命题对任意的正整数都成立。

（2）

说明：这一问可以利用归纳－猜想—证明的方法解决：，，，同理：可求

故猜想：对任意的正整数n，都有，下面利用数学归纳法证明猜想的结论，同学们可以尝试一下。

3、利用数学归纳法证明归纳猜想的结论

例4、已知数列，

（1）求。

（2）猜想数列

（1）解析：当n=1时，，

当n=2时，

同理可求

（2）证明：由此猜想：，下面利用数学归纳法证明猜想的结论：

当n=1时，猜想成立

假设n=k时，猜想成立，即

当n=k+1时，

=

整理得：

故n=k+1时，猜想成立，即所求数列的通项公式是。

 

例5、问是否存在a,b,c使得等式：

,

对一切的正整数n成立？

解析：假设存在a,b,c满足已知条件即：

对一切的正整数n成立。

故n=1,2,3时等式也成立，即有：由（1）（2）（3）

解得：a=3，b=11，c=10

所以对n=1,2,3时都有：成立―――（*）

下面利用数学归纳法证明（*）对一切的正整数n成立。

当n=1时，等式成立

假设n=k时，等式成立即：

当n=k+1时，

=

=

所以n=k+1时，等式成立。即对任意的正整数n等式成立。

综合上述：当a=3,b=11,c=10时，等式对任意的正整数n成立。

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