神奇的模型数学（18）——一个重量级的初中数学模型

神奇的模型数学（18）

问题提出：

已知：正方形ABCD的边长为4，求图中阴影部分的面积.

这是每个读书人都做过的一个数学题，大家是否还记得当时是怎样计算出结果的吗？正能良是在上世纪70年代读初中的时候第一次接触这个问题，花了很长的时间才计算出结果的.先计算空白部分的一半的面积（16-4π），得空白部分的面积为（32-8π）；然后用正方形的面积减去空白部分的面积计算出结果为（8π-16）.并且当时我的老师也没有讲什么方法，以为就只有这样一种解法，稀里糊涂的就过去了.亲爱的条友你是否有幸得到了名师的指点？我是一直到自己当老师的时候才明白，这不单单是一个数学题，而是一类数学题的解法.

其实模型1就是“和差倍分问题”，在这里就不展开了.正能良着重要讲的是模型2，这是初中数学中重量级的一个数学模型.下面还是先来解决上面提出的问题.

问题解决：

我们可以把扇形BAC的面积看作分量1，把扇形DAC的面积看作分量2，这里正方形ABCD的面积是总量，阴影部分的面积是公共量.根据模型2公式变形得：

∴阴影部分的面积

=扇形BAC的面积+扇形DAC的面积-正方形ABCD的面积

=半径为4的半圆的面积-正方形ABCD的面积

=8π-16.

应用举例：

例1：有两根长分别为2米和3米的竹竿，如果把它们绑接成长度为4.2米的竹竿，则重叠部分的长度是（ ）

A. 0.2米 B. 0.8米 C. 1.2米 D. 2.2米

分析：这里分量1为2米、分量2为3米、总量为4.2米、重叠部分为公共量，如果设重叠部分的长度为x米,根据公式：分量之和=总量+公共部分可以列出方程：2+3=4.2+x，解方程即可.

解：设重叠部分的长度为x米,根据题意,得

2+3=4.2+x

解得 x=0.8

所以重叠部分的长度是 0.8米 .

故选（B）.

例2：七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社.已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，问参加书画社的有多少人？

分析：这里分量1为参加书画社的人数、分量2为参加文学社的人数、总量为45人、公共量为20人，如果设参加书画社的人数为x人,则参加文学社的人数为（x+5）人，根据分量之和=总量+公共部分，可以列出方程x+（x+5）=45+20，解方程即可.

解：设参加书画社的有x人，那么参加文学社的有（x+5）人.

根据题意，得

x+（x+5）=45+20.

解这个方程，得x=30.

答：参加书画社的有30人.

例3：某班有学生48人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3倍，两种棋都会及两种棋都不会的人数都是4人，则会下围棋的人数是______ 人.

分析：

（1）会下棋的人数是44人；

（2）设会下围棋的人数是x人，则会下象棋的人数为3x人，

（3）等量关系：

会下围棋的人数+会下象棋的人数=会下棋的人数+两种棋都会的人数．

解：设会下围棋的人数是x人，则会下象棋的人数为3x人.

根据题意得：x+3x=44+4，

解得：x=12．

答；会下围棋的人数是12人．

巩固练习：

如图,点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC,FC=AB，若∠AFB=50°，则∠DFE=_____ .