高考数学之数列求和

1．辨明两个易误点

(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．

(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

2．数列求和的常用方法

(1)倒序相加法

如果一个数列{a_n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．

(2)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．

(3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

(4)分组转化法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．

(5)并项求和法

一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a_n＝(－1)ⁿf(n)类型，可采用两项合并求解．

1．等差数列的前n项和公式

S_n＝＝na₁＋d．

2．等比数列的前n项和公式

S_n＝

3．一些常见数列的前n项和公式

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；

(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n²；

(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n²＋n．

1．数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)^n－1·n，则S₁₇＝(　　)

A．9　　　　　　　　　　       B．8

C．17                                       D．16

　A　[解析] S₁₇＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.

2. 数列{a_n}中，a_n＝，若{a_n}的前n项和为，则项数n为(　　)

A．2 016                                  B．2 017

C．2 018                                   D．2 019

　B　[解析] a_n＝＝－，

S_n＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 017.

3．等差数列{a_n}的通项公式为a_n＝2n＋1，其前n项的和为S_n，则数列的前10项的和为(　　)

A．120                                     B．100

C．75                                       D．70

　C　[解析] 因为S_n＝＝n(n＋2)，

所以＝n＋2.

故＋＋…＋＝75.

4．若数列{a_n}的通项公式为a_n＝2ⁿ＋2n－1，则数列{a_n}的前n项和为________．

[解析] S_n＝＋＝2^n＋1－2＋n².

[答案] 2^n＋1＋n²－2

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n且a_n＝n·2ⁿ，则S_n＝________．

[解析] S_n＝1×2＋2×2²＋3×2³＋…＋n×2ⁿ，①

所以2S_n＝1×2²＋2×2³＋3×2⁴＋…＋n×2^n＋1，②

①－②得－S_n＝2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－n×2^n＋1＝－n×2^n＋1，

所以S_n＝(n－1)2^n＋1＋2.

[答案] (n－1)2^n＋1＋2