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如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=1/2BD（1/2是二分之一的意思）。  求证：BD是∠ABC的平分线 1、要证明“BD是∠ABC的平分线”，就是要证明∠1=∠2。怎么证明∠1=∠2？就需要我们添加辅助线构造全等三角形。 2、添加辅助线：延长AE、BC交于点F。此时观察图形可以发现△ABE≌△FBE、△AFC≌△BDC。 3、△ABE≌△FBE是为了证明∠1=∠2的，所以我们先要证明△AFC≌△BDC。这两个三角形相等的边有AC=BC。相等的角有∠ACF=∠BCD=90°，理由是∠ACB=90°。还缺少CF=CD或者∠2=∠FAC。 4、观察图形可以发现∠2和∠F互余，∠FAC和∠F也互余，那就可以证明∠2=∠FAC。此时△AFC≌△BDC。 5、到现在为止“AE=1/2BD”这个条件还没有用，它能不能帮助我们获得证明△ABE≌△FBE的条件呢？我们先看看证明△ABE≌△FBE的条件有什么，还缺少什么。△ABE≌△FBE的条件有∠AEB=∠FEB=90°（可以用AE⊥BD并交BD的延长线于点E证明），BE是△ABE和△FBE的公共边。还缺少AE=FE这个条件！能用“AE=1/2BD”这个条件证明出来吗？ 6、△AFC≌△BDC可以得到结论AF=BD，因为AE=1/2BD，所以AE=1/2AF，那么AE=FE。 证明：延长AE、BC交于点F ∵AE⊥BD并交BD的延长线于点E，∠ACB=90° ∴∠2+∠F=90°，∠FAC+∠F=90°（直角三角形的两个锐角互余） ∴∠FAC=∠2（等量代换） ∵∠ACB=90° ∴∠ACF=∠BCD=90°（平角的定义） 在△AFC和△BDC中 ∠FAC=∠2（已证），AC=BC（已知），∠ACF=∠BCD（已证） ∴△AFC≌△BDC（ASA） ∴AF=BD（全等三角形的对应边相等） ∵AE=1/2BD ∴AE=1/2AF 即AE=FE ∵AE⊥BD并交BD的延长线于点E ∴∠AEB =∠FEB=90° 在△ABE和△FBE中 AE=FE（已证），∠AEB =∠FEB（已证），EB=EB（公共边） ∴△ABE≌△FBE（SAS） ∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等） 即BD是∠ABC的平分线 练习 如图，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，连接AD，若BD=CD。 求证：AD是∠BAC的平分线 |
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