赏给我这么多数目的麦粒,我就十分满足了.国王觉得这个要求不高,就欣然同意了. 然而等到麦子成熟时,国王才发现,全印度的麦子竟然连棋盘一半的格子数目都填不满. (《第七封印》) 现在我们来帮助国王计算一下,想要填满64格棋盘,到底需要多少麦粒。实际上这是一个等比数列求和问题。棋盘的第一格只需要麦粒a1=1,第二个需要麦粒a2=2,第3格a3=4,等等,这些麦粒的数量构成一个首项a1=1,公比q=2的等比数列。那么要求64格棋盘的总麦粒数。 再观察对比这两个等式,发现它们有很多相同的指数幂,所以可以把两个等式相减来化简,我们用2式减1式,等号左边相减,2S64-S64,等号右边相减,这些相同的指数幂会消掉,最后留下来的,只有264,减去1.所以能得到棋盘上的总麦粒数S64,等于264-1,这是一个天文数字,相当于全世界2000年的小麦产量。 上面计算麦粒的方法,对任何一个q不等于1的等比数列求和,都是适用的。等比数列的前n项和Sn,=a1+a2+...+an,我们用a1和q来表示。 错位相减法不仅适合于等比数列的求和,更多的时候,如果一个数列的通项形式,可以表示成,一个等差数列与一个等比数列的乘积时,那么都可以用错位相减法来求前n项和。至于等比数列想要求和,只要直接套公式就可以。 远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中,下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有几盏灯? |
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