概率论 各种分布及其期望、方差、分布函数

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• 概率论 各种分布及其期望、方差、分布函数
  • （0-1）分布
  • 二项分布 X~b(n,p)
  • 泊松分布 X~π(λ)$\pi (\lambda )$
  • 均匀分布 X~U(a,b)
  • 指数分布
  • 正态/高斯分布 X~N(μ,σ2$\mu ,{\sigma }^2$)
  • ——————————————————–
  • χ2${\chi }^2$分布 χ2∼χ2(n)${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$
  • t分布 t~t(n)
  • F分布 F~F(n1,n2$n_1,n_2$)
  • 正态总体的样本均值X¯$\overline{X}$与样本方差S2$S^2$的分布

概率论 各种分布及其期望、方差、分布函数

（0-1）分布

p(X=k)=pk(1−p)1−k$p(X=k)=p^k(1-p{)}^{1-k}$,k=0,1

E(X)=p

D(X)=p(1-p)

二项分布 X~b(n,p)

p(X=k)=Cknpk(1−p)n−k$p(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

E(X)=np

D(X)=np(1-p)

泊松分布 X~π(λ)$\pi (\lambda )$

p(X=k)=λke−λk!$p(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$

E(X)=λ$\lambda$

D(X)=λ$\lambda$

均匀分布 X~U(a,b)

f(x)={1b−a,0,a<x<belseE(X)=a+b2D(X)=(b−a)212F(X)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x<aa≤x<bx≥b$$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& else\end{array} \\ E(X)=\frac{a+b}{2} \\ D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12} \\ F(X)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x<b\\ 1,& x\ge b\end{array} \end{gathered}$$

指数分布

f(x)={1θe−xθ,0,x>0elseE(X)=θD(X)=θ2F(X)={1−e−xθ,0,x>0else$$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-\frac{x}{\theta }},& x>0\\ 0,& else\end{array} \\ E(X)=\theta \\ D(X)={\theta }^2 \\ F(X)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\frac{x}{\theta }},& x>0\\ 0,& else\end{array} \end{gathered}$$

正态/高斯分布 X~N(μ,σ2$\mu ,{\sigma }^2$)

E(X)=μ$\mu$

D(X)=σ2${\sigma }^2$

F(X)=P(X≤x)=ϕ(x−μσ)$F(X)=P(X\le x)=\varphi (\frac{x-\mu }{\sigma })$

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χ2${\chi }^2$分布 χ2∼χ2(n)${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$

Xi∼N(0,1)n:自由度χ2=∑i=1nX2iE(χ2)=nD(χ2)=2nχ21+χ22∼χ2(n1+n2)$$\begin{gathered} X_i\sim N(0,1) \\ n:自由度 \\ {\chi }^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2 \\ E({\chi }^2)=n \\ D({\chi }^2)=2n \\ {\chi }_1^2+{\chi }_2^2\sim {\chi }^2(n_1+n_2) \end{gathered}$$

t分布 t~t(n)

X∼N(0,1)Y∼χ2(n)t=XYn−−√$$\begin{gathered} X\sim N(0,1) \\ Y\sim {\chi }^2(n) \\ t=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} \end{gathered}$$

F分布 F~F(n1,n2$n_1,n_2$)

U∼χ2(n1)V∼χ2(n2)F=U/n1V/n2$$\begin{gathered} U\sim {\chi }^2(n_1) \\ V\sim {\chi }^2(n_2) \\ F=\frac{U/n_1}{V/n_2} \end{gathered}$$

正态总体的样本均值X¯$\overline{X}$与样本方差S2$S^2$的分布

E(X¯)=μD(X¯)=σ2nE(S2)=E[1n−1(∑i=1nX2i−nX¯2)]=1n−1[∑i=1nE(X2i)−nE(X¯2)]=1n−1[∑i=1n(σ2+μ2)−n(σ2n+μ2)]=σ2$$\begin{gathered} E(\overline{X})=\mu \\ D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n} \\ E(S^2)=E[\frac{1}{n-1}(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\overline{X}}^2)]=\frac{1}{n-1}[\sum _{i=1}^{n}E(X_i^2)-nE({\overline{X}}^2)] \\ =\frac{1}{n-1}[\sum _{i=1}^n({\sigma }^2+{\mu }^2)-n(\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2)]={\sigma }^2 \end{gathered}$$

Xi来自N(μ,σ2)$X_i来自N(\mu ,{\sigma }^2)$,则

X¯∼N(μ,σ2n)(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)X¯与S2相互独立X¯−μS/n−−√∼t(n−1)$$\begin{gathered} \overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}) \\ \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1) \\ \overline{X}与S^2相互独立 \\ \frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) \end{gathered}$$

单个总体N(μ.σ2$\mu .{\sigma }^2$)置信区间

(X¯±Sn−−√tα/2(n−1))$$(\overline{X}\pm \frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha /2}(n-1))$$

两个总体N(μ1.σ21)，N(μ2.σ22)的μ1−μ2置信水平1−α的置信区间$两个总体N({\mu }_1.{\sigma }_1^2)，N({\mu }_2.{\sigma }_2^2)的{\mu }_1-{\mu }_2置信水平1-\alpha 的置信区间$

(X¯−Y¯±tα/2(n1+n2−2)Sω1n1+1n2−−−−−−−−√)S2ω=(n1−1)S21+(n2−1)S22n1+n2−2,Sω=Sω2−−−√$$\begin{gathered} (\overline{X}-\overline{Y}\pm t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)S_{\omega }\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}) \\ {S}_{\omega }^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},S_{\omega }=\sqrt{S{\omega }^2} \end{gathered}$$