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肖博数学小题专练·(十一) 直线与圆 一、选择题 1.设 a∈R，则“a=-1”是“直线 ax+y-1=0 与直线 x+ay +5=0 平行”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 直线 ax+y-1=0 与直线 x+ay+5=0 平行的充要条件为 a 2-1=0， 5a+1≠0， 即 a=±1，故 a=-1 是两直线平行的充分而不必要条 件。故选 A。 2.过 P(2,0)的直线 l 被圆(x-2)2+(y-3)2=9 截得的线段长为 2 时，直线 l 的斜率为( ) A.± 2 4 B.± 2 2 C.±1 D.± 3 3 答案 A 解析 由题意得直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y =k(x-2)，即 kx-y-2k=0。由点到直线的距离公式得，圆心到直线 l 的距离 d= |2k-3-2k| k 2+1 = 3 k 2+1 ，由圆的性质可得 d 2+1 2=r 2，即 3 k 2+1 2+1 2=9，解得 k 2= 1 8，即 k=± 2 4 。 3.若圆 O：x 2+y 2=4 与圆 C：x 2+y 2+4x-4y+4=0 关于直线 l 2 对称，则直线 l 的方程是( ) A.x+y=0 B.x-y=0 C.x-y+2=0 D.x+y+2=0 答案 C 解析 圆 x 2+y 2+4x-4y+4=0，即(x+2)2+(y-2)2=4，圆心 C 的坐标为(-2,2)。直线 l 过 OC 的中点(-1,1)，且垂直于直线 OC，易 知 kOC=-1，故直线 l 的斜率为 1，直线 l 的方程为 y-1=x+1，即 x-y+2=0。故选 C。 4.设定点 A(3,1)，B 是 x 轴上的动点，C 是直线 y=x 上的动点， 则△ABC 周长的最小值是( ) A.3 5 B. 6 C.2 5 D. 10 答案 C 解析 设点 P，Q 分别为点 A 关于直线 y=x，x 轴的对称点，则 P(1,3)，Q(3，-1)，根据对称性知△ABC 的周长为 L=|AB|+|BC|+|CA| =|QB|+|BC|+|PC|，则 P，C，B，Q 在同一直线上时，△ABC 的周长 L 取得最小值，其最小值为 L=|PQ|= (1-3) 2+(3+1) 2=2 5，故选 C。 5.已知圆 C1：x 2+y 2-2mx+4y+m2-5=0 与圆 C2：x 2+y 2+2x -2my+m2-3=0，若圆 C1与圆 C2相外切，则实数 m 的值为( ) 3 A.5 B.-2 C.2 或-5 D.-2 或 5 答案 C 解析 对于圆 C1与圆 C2的方程，配方得圆 C1：(x-m) 2+(y+2)2 =9，圆 C2：(x+1)2+(y-m) 2=4，则圆 C1的圆心 C1(m，-2)，半径 r1=3，圆 C2的圆心 C2(-1，m)，半径 r2=2。如果圆 C1与圆 C2相外 切，那么有|C1C2|=r1+r2，即 (m+1) 2+(m+2) 2=5，则 m2+3m- 10=0，解得 m=-5 或 m=2，所以当 m=-5 或 m=2 时，圆 C1与 圆 C2相外切。 6.在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 l：y=kx+1 与圆 C：x 2 +y 2=4 相交于 A，B 两点，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OAMB， 若点 M 在圆 C 上，则实数 k 等于( ) A.1 B.2 C.-1 D.0 答案 D 解析 由题意知圆心到直线l的距离等于1 2 r=1(r为圆C的半径)， 所以 |k×0-0+1| k 2+1 =1，解得 k=0。 7.(2017·重庆一模)若平面区域 x+y-3≥0， 2x-y-3≤0， x-2y+3≥0 夹在两条平行 直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A. 3 5 5 B. 2 C. 3 2 2 D. 5 4 答案 A 解析 由题意，可以考虑使用数形结合法，作出可行域如图所示， 可以发现可行域是以 AB=BC 为腰的等腰三角形，则这两条平行线中 以 BC 为其一条，而另一条过点 A 且与 BC 平行，此时两条平行线间 的距离最小，即点 A 到直线 BC 的距离，则所求距离最小值为 d= |2-2×1+3| 1+2 2 = 3 5 5 ，故选 A。 8.(2017·安徽黄山二模)已知圆 C：x 2+y 2=1，点 P 为直线x 4+ y 2= 1 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点， 则直线 AB 经过定点( ) A. 1 2， 1 4 B. 1 4， 1 2 C. 3 4 ，0 D. 0， 3 4 答案 B 解析 设 P(4-2m，m)，∵PA，PB 是圆 C 的切线，∴CA⊥PA， CB⊥PB，∴AB 是圆 C 与以 PC 为直径的两圆的公共弦，可得以 PC 为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+ y- m 2 2=(2-m) 2+ m2 4 。① 由 5 [x-(2-m)] 2+ y- m 2 2=(2-m) 2+ m2 4 ， x 2+y 2=1， 得直线 AB 的方程为 2(2- m)x+my=1，可得 1 4， 1 2 满足上式，即 AB 过定点 1 4， 1 2 ，故选 B。 9.直线 x-2y-3=0 与圆 C：(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E，F 两 点，则△ECF 的面积为( ) A. 3 2 B.2 5 C. 3 5 5 D. 3 4 答案 B 解析 由题意，圆心为 C(2，-3)，半径为 r=3，则△ECF 的高 h=d= |2+2×3-3| 1+(-2) 2 = 5，底边长为 l=2 r 2-d 2=2 9-5=4，所 以 S△ECF= 1 2×4× 5=2 5，故选 B。 10.(2017·陕西咸阳二模)已知圆 O 的半径为 1，A，B，C，D 为 该圆上四个点，且AB→+AC→=AD→ ，则△ABC 的面积最大值为( ) A.2 B.1 C. 2 D. 3 答案 B 解析 因为AB→+AC→=AD→，所以四边形 ABDC 为平行四边形。又 因为 A，B，D，C 四点都在圆上，所以 AD，BC 必为圆的直径，∠ACD =∠BAC=90°，即四边形 ABDC 为矩形，AD=2，|AC| 2+|AB| 2=|AD| 2 =4，S△ABC= 1 2 ·|AB|·|AC|≤ |AC| 2+|AB| 2 4 =1，当且仅当|AC|=|AB|时取等 号，故选 B。 6 11.(2017·兰州市诊断考试)已知圆 C：(x- 3) 2+(y-1)2=1 和 两点 A(-t,0)，B(t,0)，(t>0)，若圆 C 上存在点 P，使得∠APB=90°， 则当 t 取得最大值时，点 P 的坐标是( ) A. 3 2， 3 2 2 B. 3 2 2 ， 3 2 C. 3 2， 3 3 2 D. 3 3 2 ， 3 2 答案 D 解析 设 P(a，b)为圆上一点，由题意知，AP→·BP→=0，即(a+t)(a -t)+b 2=0，a 2-t 2+b 2=0，所以 t 2=a 2+b 2=|OP| 2，|OP|max=2+1 =3，即 t 的最大值为 3，此时 kOP= 3 3 ，OP 所在直线的倾斜角为 30°， 所以点 P 的纵坐标为3 2，横坐标为 3× 3 2 = 3 3 2 ，即 P 3 3 2 ， 3 2 。 12.(2017·湖北七市联考)关于曲线 C：x 2+y 4=1，给出下列四个 命题： ①曲线 C 有两条对称轴，一个对称中心; ②曲线 C 上的点到原点距离的最小值为 1; ③曲线 C 的长度 l 满足 l>4 2; ④曲线 C 所围成图形的面积 S 满足 π 上述命题中，真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A 解析 ①将(x，-y)，(-x，y)，(-x，-y)代入，方程不变，确 定曲线关于 x 轴，y 轴对称，关于原点对称，故①正确。②x 2+y 4= 1⇒0≤x 2≤1,0≤y 4≤1，故 x 2+y 2≥x 2+y 2·y 2=x 2+y 4=1，即曲线 C 上 的点到原点的距离为 x 2+y 2≥1，故②正确。 7 ③由②知，x 2+y 4=1 的图象位于单位圆 x 2+y 2=1 和边长为 2 的 正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于 2，所以 l>4 2，故③ 正确。④由③知，π×1 2 二、填空题 13.已知直线 l1：ax-y+1=0，l2：x+y+1=0，l1∥l2，则 a 的 值为________，直线 l1与 l2之间的距离为________。 答案 -1 2 解析 ∵l1∥l2，∴a·1=-1·1⇒a=-1，此时 l1：x+y-1=0，∴ l1，l2之间的距离为 |1-(-1)| 2 = 2。 14.已知直线 l：mx+y+3m- 3=0 与圆 x 2+y 2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|=2 3， 则|CD|=________。 答案 4 解析 设 AB 的中点为 M，由题意知，圆的半径 R=2 3，|AB| =2 3，所以|OM|=3，即 |3m- 3| m2+1 =3，解得 m =- 3 3 ，直线 l 的斜率 k= 3 3 ，倾斜角 α=30°，作图易知 cos30° 8 = |AB| |CD|，∴|CD|= |AB| cos30°= 2 3 cos30°=4。 15.(2017·大理州二模)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程 为 x 2+y 2-6x+8=0，若直线 y=2kx-2 上至少存在一点，使得以该 点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则实数 k 的取值范围是 ________。 答案 0， 6 5 解析 ∵圆 C 的方程为 x 2+y 2-6x+8=0，整理得：(x-3)2+y 2 =1，即圆 C 是以(3,0)为圆心，1 为半径的圆;又直线 y=2kx-2 上 至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点， ∴只需圆 C′：(x-3)2+y 2=4 与直线 y=2kx-2 有公共点即可。设圆 心 C′(3,0)到直线 y=2kx-2 的距离为 d，则 d= |6k-2| 4k 2+1 ≤2，即 5k 2 -6k≤0，∴k∈ 0， 6 5 。 16.设直线 l：3x+4y+4=0，圆 C：(x-2)2+y 2=r 2 (r>0)，若圆 C 上存在两点 P，Q，直线 l 上存在一点 M，使得∠PMQ=90°，则 r 的取值范围是________。 答案 [ 2，+∞) 解析 由题意得，圆 C：(x-2)2+y 2=r 2 的圆心坐标 C(2,0)，半 径为 r，此时圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离为 d= |2×3+4| 3 2+4 2 =2。 过任意一点 M 作圆的两条切线，切点为 P，Q，则此时四边形 MPCQ 为正方形，所以要使得直线 l 上存在一点 M，使得∠PMQ=90°，则 d≤ 2r，即 2r≥2，解得 r≥ 2，∴r 的取值范围是[ 2，+∞)。 请加关注 获取完整解题技巧（视频联系方式） |
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