肖博数学小题专练·(十四) 概率 一、选择题 1.一枚硬币连掷 2 次,只有一次出现正面的概率为( ) A. 2 3 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 答案 D 解析 一枚硬币连掷 2 次可能出现(正,正)、(反,反)、(正,反)、 (反,正)四种情况,只有一次出现正面的情况有两种,∴P= 2 4= 1 2,故 选 D。 2.若 A,B 是互斥事件,P(A)=0.2,P(A+B)=0.5,则 P(B)等 于( ) A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1 答案 A 解析 由题意得,根据互斥事件的概率,可得 P(A+B)=P(A)+ P(B),所以 P(B)=0.3,故选 A。 3.在区间 - π 2, π 2 上随机取一个数 x,则 cosx 的值在 0, 1 2 之间 的概率为( ) A. 1 3 B. 2 π C. 1 2 D. 2 3 答案 A 解析 当 cosx 的值在 0, 1 2 之间时,x∈ - π 2,- π 3 ∪ π 3, π 2 ,所 2 以所求的概率为 2× π 2- π 3 π 2- - π 2 = 1 3。 4.已知数列{an}满足 a1=2,an+1=-2an(n∈N* )。若从数列{an} 的前 10 项中随机抽取一项,则该项不小于 8 的概率是( ) A. 3 10 B. 2 5 C. 3 5 D. 7 10 答案 B 解析 由题意可知 an=2·(-2)n-1,故前 10 项中,不小于 8 的只 有 8,32,128,512,共 4 项,故所求概率是 4 10= 2 5。 5.从x 2 m- y 2 n=1(其中 m,n∈{-1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、 双曲线、抛物线)方程中任取一个,则此方程是焦点在 x 轴上的双曲 线方程的概率为( ) A. 1 2 B. 4 7 C. 2 3 D. 3 4 答案 B 解析 当方程x 2 m- y 2 n=1 表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线 时,不能有 m<0,n>0,所以方程 x 2 m- y 2 n=1 表示椭圆、双曲线、抛物 线等圆锥曲线的(m,n)有(2,-1),(3,-1),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3), (-1,-1),共 7 种,其中表示焦点在 x 轴上的双曲线时,则 m>0, n>0,有(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),共 4 种,所以所求概率 P= 4 7。 3 6.如图,圆 C 内切于扇形 AOB,∠AOB= π 3,若向扇形 AOB 内 随机投掷 600 个点,则落入圆内的点的个数估计值为( ) A.100 B.200 C.400 D.450 答案 C 解析 如图所示,作 CD⊥OA 于点 D,连接 OC 并延长交扇形于 点 E,设扇形半径为 R,圆 C 半径为 r,∴R=r+2r=3r,∴落入圆内 的点的个数估计值为 600· πr 2 1 6 π(3r) 2 =400。 7.已知集合 A={-2,3,5,7},从 A 中随机抽取两个不同的元素 a, b,作为复数 z=a+bi(i 为虚数单位)的实部和虚部。则复数 z 在复平 面内的对应点位于第一象限的概率为( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 4 5 4 答案 A 解析 从集合 A={-2,3,5,7}中随机抽取两个不同的元素 a,b, 组成复平面内的对应点有(-2,3),(-2,5),(-2,7),(3,-2),(3,5), (3,7),(5,-2),(5,3),(5,7),(7,-2),(7,3),(7,5),共 12 种;其 中位于第一象限的点有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共 6 种。所以复数 z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为 P= 6 12= 1 2。 8.如图,已知圆的半径为 10,其内接三角形 ABC 的内角 A,B 的度数分别为 60°和 45°,现向圆内随机撒一粒豆子,则豆子落在△ ABC 内的概率为( ) A. 3+ 3 16π B. 3+ 3 4π C. 4π 3+ 3 D. 16π 3+ 3 答案 B 解析 由正弦定理 BC sinA= AC sinB=2R(R 为△ABC 外接圆的半径),得 BC=20sin60°, AC=20sin45°, 解得 BC=10 3, AC=10 2, 则 S△ABC= 1 2×10 3×10 2sin75°=25(3+ 3)。于是,豆子落在△ 5 ABC 内的概率为 P= S△ABC S圆 = 25(3+ 3) 102π = 3+ 3 4π 。 9.(2017·广州综合测试)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前 放着完全相同的硬币,所有人同时抛出自己的硬币。若硬币正面朝上, 则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着。那么,没有 相邻的两个人站起来的概率为( ) A. 1 2 B. 15 32 C. 11 32 D. 5 16 答案 C 解析 假设有甲、乙、丙、丁、戊五个人按顺序围成一桌,五个 人同时抛出自己的硬币,基本事件总数共有 2×2×2×2×2=32(种)。 若五个人同时坐着有 1 种情况;若四个人同时坐着,一个人站着有 5 种情况;若三个人同时坐着,两个人站着有(甲丙、甲丁、乙丁、乙 戊、丙戊)5 种情况。没有相邻的两个人站起来的情况共有 1+5+5= 11(种),故所求的概率为11 32,故选 C。 10.(2017·湖北七市联考)从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字 (允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于 12 的概率为( ) A. 2 25 B. 13 125 C. 18 25 D. 9 125 答案 A 解析 从 5 个数字中任意抽取 3 个数字组成一个三位数,并且允 许有重复的数字,这样构成的数字有 5 3=125 个,但要使各位数字之 和等于 12 且没有重复数字时,则该数只能含有 3,4,5 三个数字,它们 6 有 345,354,435,453,534,543 共 6 种;若三位数的各位数字均重复,则 该数为 444,只有 1 种;若三位数中有 2 个数字重复,则该数为 552,525,255,有 3 种。因此,所求概率为 P= 6+1+3 125 = 2 25,故选 A。 11.(2017·云南省统一检测)在平面区域 x+y-4≤0, x>0, y>0 内随机 取一点(a,b),则函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上是增函数 的概率为( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 答案 B 解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB 的内部及 边界 AB(不包括边界 OA,OB),则 S△AOB= 1 2×4×4=8。函数 f(x)=ax2 -4bx+1 在区间[1,+∞)上是增函数,则应满足 a>0 且 x= 4b 2a ≤1, 即 a>0, a≥2b, 可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界 OC, 7 BC,不包括边界 OB),由 a=2b, a+b-4=0, 解得 a= 8 3,b= 4 3,所以 S △COB= 1 2×4× 4 3= 8 3,根据几何概型的概率计算公式,可知所求的概率 为 8 3 8= 1 3,故选 B。 12.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代 表作。书中有如下问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几 何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步, 问其内接正方形边长为多少步?”现若向此三角形内投豆子,则落在 其内接正方形内的概率是( ) A. 60 289 B. 90 289 C. 120 289 D. 240 289 答案 C 解析 如图,设 Rt△ABC 的两直角边长分别为 a,b,其内接正 方形 CEDF 的边长为 x,则由△ADF∽△ABC,得AF AC= DF BC,即 a-x a = x b, 解得 x= ab a+b 。从而正方形 CEDF 的面积为 S 正方形 CEDF= ab a+b 2,又 8 Rt△ABC 的面积为 S△ABC= ab 2 ,所以所求概率为 P= ab a+b 2 ab 2 = 2ab (a+b) 2= 2×5×12 (5+12) 2 = 120 289,故选 C。 二、填空题 13.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的 概率是________。 答案 5 6 解析 基本事件共有 36 个。如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),其中满 足点数之和小于 10 的有 30 个。故所求概率为 P= 30 36= 5 6。 14.在长度为 10 的线段 AB 上任取一点 C(异于 A,B),则以 AC, BC 为半径的两圆面积之和小于 58π 的概率是________。 答案 2 5 解析 设 AC=x,则 BC=10-x,0 2+π(10 -x) 2<58π,即 x 2-10x+21<0,解得 3 7-3 10 = 2 5。 15.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取一点 P,则点 P 与点 O 的距离大于 1 的概率为________。 9 答案 1- π 12 解析 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,与点 O 的距离等于 1 的点的轨迹是一个半球面,其体积 V1= 1 2× 4 3 π×1 3= 2π 3 。事件“点 P 与点 O 的距离大于 1 的概率”对应的区域体积为 2 3- 2π 3 。根据几何 概型概率公式,得点P与点O的距离大于1的概率P= 2 3- 2π 3 2 3 =1- π 12。 16.已知函数 f(x)=cos πx 6 ,集合 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9},现从 M 中任取两个不同的元素 m,n,则 f(m)·f(n)=0 的概率为________。 答案 5 12 解析 已知函数 f(x)=cos πx 6 ,集合 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9},现从 M 中任取两个不同的元素 m,n,则 m=3,9 时,f(m)=cos πm 6 =0,满 足 f(m)·f(n)=0 的个数为:m=3 时有 8 个,m=9 时有 8 个,n=3 时 有 8 个,n=9 时有 8 个,重复 2 个,共有 30 个。从 A 中任取两个不 同的元素 m,n,则 f(m)·f(n)的值有 72 个,所以从 M 中任取两个不同 的元素 m,n,使 f(m)·f(n)=0 的概率为 P= 30 72= 5 12。 10 请加关注 获取正确技巧(视频联系方式) |
|
来自: 昵称32937624 > 《待分类》