第2讲数列求和及综合应用高考定位1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真题感悟解(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.考点整合2.数列求和3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.解(1)因为an＝5Sn＋1，n∈N，所以an＋1＝5Sn＋1＋1，(2)bn＝－1－log2|an|＝2n－1，数列{bn}的前n项和Tn＝n2，因此{An}是单调递增数列，探究提高1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.2.形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列.(1)解2(Sn＋1)＝(n＋3)an，①当n≥2时，2(Sn－1＋1)＝(n＋2)an－1，②①－②得，(n＋1)an＝(n＋2)an－1，热点二数列的求和考法1分组转化求和【例2－1】(2018·合肥质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2an＋(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.因此{an}的通项公式an＝2n＋1.(2)∵bn＝2an＋(－1)n·an＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1)＝2×4n＋(－1)n·(2n＋1)，探究提高1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.(1)证明∵Sn＝2n2＋5n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n＋3.又当n＝1时，a1＝S1＝7也满足an＝4n＋3.故an＝4n＋3(n∈N).∴数列{3an}是公比为81的等比数列.(2)解∵bn＝4n2＋7n，探究提高1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.解(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，所以an＝a1qn－1＝3n.(2)由(1)得bn＝log332n－1＝2n－1，解(1)设{an}的公差为d，由题设解之得a1＝1，且d＝1.因此an＝n.探究提高1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.解(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式.所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d，所以bn＝3n＋1.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2].两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]所以Tn＝3n·2n＋2.∵an＋1＝f′(an)，且a1＝1.∴an＋1＝an＋2则an＋1－an＝2，因此数列{an}是公差为2，首项为1的等差数列.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，∴q＝3.∴bn＝3n－1.又n∈N，∴n＝1，或n＝2故适合条件Tn≤Sn的所有n的值为1和2.探究提高1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.解(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2).从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.即2n>1000，又∵n∈N，因为29＝512<1000<1024＝210，所以n≥10，1.错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项得到的数列{an·bn}求和.(2)步骤：①求和时先乘以数列{bn}的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式.2.裂项求和的常见技巧3.数列与不等式综合问题(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.又n＝1时，a1＝2适合上式，从而{an}的通项公式为an＝.
1.(2017·全国卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
①－得(2n－1)an＝2，所以an＝，
则Sn＝＋＋…＋＝1－＝.
由(1)知＝＝－，
(2)记的前n项和为Sn，
解(1)设{an}的公比为q，由题意知
2.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.
又an>0，解得所以an＝2n.
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，
(2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，
所以Tn＝5－.
令cn＝，则cn＝，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得Tn＝＋－，
1.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系，an＝
(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误.
(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.
(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.
(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.
温馨提醒裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.
热点一an与Sn的关系问题
【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值.
所以数列{an}是公比、首项均为－的等比数列.
所以数列{an}的通项公式an＝.
∴当n＝1时，An有最小值A1＝1－＝；An没有最大值.
两式相减，得an＋1＝－an，
又当n＝1时，a1＝5a1＋1，知a1＝－，
cn＝＝＝－，所以An＝1－.
【训练1】(2018·安徽江南名校联考)已知数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足2(Sn＋1)＝(n＋3)an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<3.
故是首项为的常数列.所以an＝(n＋2).
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝9＝9＝3－<3.
所以＝(n≥2)，又＝，
(2)证明由(1)知，bn＝＝＝9.
∴Tn＝2×(41＋42＋…＋4n)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n＋1)]＝＋Gn.
解(1){an}为等差数列，解得
当n为偶数时，Gn＝2×＝n，Tn＝＋n；
∴Tn＝
∴Tn＝－n－2，
当n为奇数时，Gn＝2×－(2n＋1)＝－n－2，
由an＋1－an＝4，得＝3an＋1－an＝34＝81.
考法2裂项相消法求和
【例2－2】(2018·郑州调研)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2＋5n.
(1)求证：数列{3an}为等比数列；
(2)设bn＝2Sn－3n，求数列的前n项和Tn.
∴Tn＝
∴＝＝，
＝＝.
【训练2】(2018·成都二诊)设正项等比数列{an}，a4＝81，且a2，a3的等差中项为(a1＋a2).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3a2n－1，数列{bn}的前n项和为Sn，数列{cn}满足cn＝，Tn为数列{cn}的前n项和，若Tn<λn恒成立，求λ的取值范围.
Sn＝＝＝n2
∴Tn＝＝.
由题意，得解得
∴cn＝＝，
若Tn＝<λn恒成立，则λ>(nN)恒成立，则λ>，所以λ>.
得
考法3错位相减求和
【例2－3】(2018·潍坊一模)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝10，且a1，a3，a9成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
①－得：Tn＝－＝－＝－－，
(2)令cn＝，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，
Tn＝＋＋…＋＋，
∴Tn＝－.
由即可解得
【训练3】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.，
＝3×＝－3n·2n＋2.
热点三与数列相关的综合问题
【例3】设f(x)＝x2＋2x，f′(x)是y＝f(x)的导函数，若数列{an}满足an＋1＝f′(an)，且首项a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.
解(1)由f(x)＝x2＋2x，得f′(x)＝x＋2.
∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝＝.Tn≤Sn可化为≤n2.
(2)数列{an}的前n项和Sn＝＝n2，
【训练4】(2018·长沙雅礼中学质检)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值.
由|Tn－1|<，得<，
(2)由(1)可得＝，
所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.
于是，使|Tn－1|<成立的n的最小值为10.
(1)＝－.(2)＝.
(3)＝.
(4)＝.
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