不用记公式！——用面积来算导数

这是《机器学习中的数学基础》系列中的第10篇，也是微积分系列的第3篇。

我们经常要求函数的导数，烦恼于那些公式记不住，今天就让我们用面积法来求出函数的导数。话不多说，先来看第一个函数y=x²，怎么用面积来求导呢？

我们先画一个正方形，它的边长是x，则正方形的面积就是x²，如下图：

别忘了导数的定义，自变量x增加一个微小的量dx，看函数的变化率是多少，这里也就是看正方形面积的变化率是多少。我们再画一个图来表示：

上图中蓝色线围起来的面积就是正方形增加的面积dy，不难算出，dy=2xdx+(dx)²。当dx取很小的值时，dy=2xdx。两边同时除以dx，得到dy/dx=2x。这就是我们要求的y=x²的导数。

好，看完上面简单的一个例子，我们再来看一个函数：y=1/x。它的导数怎么用面积法来求呢？

看上去很复杂，但是别慌，我们先观察y和x的关系，我们发现x*y=x*(1/x)=1，也就是说自变量x和因变量y的乘积永远等于1。那我们就可以构造一个长方形，让它的长为x，宽为y，面积始终是1，如下图：

现在我们给x增加一个微小的量dx，看看面积会发生什么变化：

如上图，当x增加了dx时，因为整个长方形的面积是1，宽必须被压缩，也就是说y是在减小的，我们要求的就是y的变换量，也就说上图中问号的长度。

怎么求呢？不难看出，因为长方形的面积始终是1，变化后的长方形的宽为1/(x+dx)。因此，问号处的长度就是原来长方形的宽1/x减去现在长方形的宽1/(x+dx)，即

1/x-1/(x+dx)=dx/x(x+dx)。

别忘了导数的定义是变化率，我们用这个变化量除以dx，得到1/x(x+dx)。当dx趋近于0时，可以认为变化率就是1/x²。但是还有一点注意，当x增加时，y是减小的，所以要在变化率前加一个负号，即-1/x²。因此，y=1/x的导数就是-1/x²。是不是感觉很酷呢？

让我们继续前行，看最后一个例子，y=sin(x)的导数又该怎么求呢？

稳住，别慌。我们先画一个单位圆：

如上图，是一个半径为1的单位圆。我们已知，在弧度制下，弧长公式为l=r*x。其中r为圆的半径，x是弧度。因此，函数y=sinx体现在单位圆中，自变量就是弧长x，因变量y就是线段AB的长度。现在我们给x增加一个微小变量dx，看看y是如何变化的，如下图：

如图，我们给dx增加了一个微小量dx，也就是弧长EF，那么y的变化就是垂直方向的线段ED。我们要求的导数，也就是dy/dx，也就是ED/EF。当dx很小时，弧长EF可以看成线段EF，而且有EF⊥OF。因此，不难看出∠FED就等于x（弧度），而ED/EF=cos∠FED。所以我们有dy/dx=cosx，也就是说函数y=sinx的导数就是cosx。

这就是今天的全部内容，你都明白了吗？欢迎留言讨论。