临界点和取值范围问题是中考数学常考内容之一,一般与几何、函数一起考查,而取值范围问题,可能涉及不等式和代数式有意义的问题。 我们今天简单看一下临界点问题和取值范围常考哪些内容。 (1)求取值范围: ①根据判别式求取值范围: 例:已知x²-2mx m 6=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围 思路:显然有两个不相等的实数根需满足△=b²-4ac>0,本式中a=1,b=-2m,c=m 6。 所以有(-2m)²-4(m 6)=4(m-3)(m 2)>0 易知 m的取值范围为m<-2或m>3 ②有无数解问题: 例:❶若ax² ax 1>0恒成立,求a的取值范围。【一般不等式均有无数解,这里我们说是恒成立】 思路:实际上是考查对二次函数图像的认识,因为不等方程是>0,所以二次函数需满足开口向上即a>0,且与x轴无交点,即判别式△<0,易知0<a<4 例:❷关于x的不等式2x 5-a>1-bx恒成立,试确定a,b的取值范围。 思路:对于任意的方程ax b=0,只有在a和b同时为0的时候,方程有无数解(为什么?因为a=0,则ax恒为0,与x的取值无关)。而对于不等式ax b>0,则必须是在a=0,b>0,时才可能恒成立。 所以此题先移项化为(2 b)x 4-a>0,则有b=-2,a<4。 ②无解问题(二次函数问题不再举例): 例:❶ 思路:不等式组无解的思路是让两个不等式解到的解无公共部分例如(不存在x>1且x<0的值)。 本题中x-3(x-2)≤4,解得x≥1,第二个分式不等式解得x<a,所以只需保证a不大于1即可,即a≤1。(注意对于a是否能取1,不熟练时单独拿出来分析一下) ❷我们将上一题略微改动: 思路:注意改动的位置,第一个不等式不等式改变,则解变为了x≤1,而整个不等式组的解也是x≤1,所以第二个不等式解到的解必须是x<b,且b需要时大于1的数。而第二个不等式移项化简后未(3a-2)x<a。所以必须有3a-2>0,且a/(3a-2)>1,解得2/3<a<1【同样,临界点a=1可以单独拿出来分析】 ③代数式有意义问题(定义域): 一般情况下初中阶段代数式有意义的问题主要是偶次(初中一般就是根号)根下代数式需大于等于0,分式中分母不等于0。 例: 显然此题即有根号又有分式需满足x-2>0,3-x≥0,则2<x≤3。 ④给定x的范围求y的范围(值域): 最简单的问题是一次函数:若y=-2x 4,且x>4,试求y的取值范围。 因为x>4,则-2x<-8,所以y=-2x 4<-8 4=-4,但对于二次函数问题则变得稍微复杂一些: 例❶:求关于x的函数y=x²-4x 9在实数范围内y的取值范围 显然可以进行配方或直接应用顶点公式,这里举例是非常简单的所以进行配方(根据(a b)²=a² 2ab b²,一对一的凑出来, 这里把x看成a,2b应该对应-4,则b=-2,b²=4): y=x²-4x 4 5=(x-2)² 5≥5 ❷:还是上面的题目,关于x的函数y=x²-4x 9在0<x<3时y的取值范围。 有的同学非常聪明,直接将x=0和x=3,代入后y=9或y=6,所以6<y<9。 注意:这样做未考虑其他取值情况,而实际上当x=2时y取最小值5,故y的取值范围是5≤y<9。 (2)临界问题: 一般情况下在确定某代数式的取值范围时均会考虑临界问题,以上举例中的各边界点均是临界,但在几何中和二次函数或反比例函数找交点时略有不同,常常与动点一起考查。 ①几何相关 例❶:Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点(不包括点B、C),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的取值范围是? 思路:我们能看出来的是AFPE是个矩形,这样求EF其实就演变成了求AP。P点在移动过程中当AP垂直BC时最小,当移动到C点时最大。 当垂直时:5×AP=3×4,AP=12/5,而移动到C时最大为4,显而易见。 例❷:如图,在直角坐标系中,△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是(3,3)、(2,-2)、(0,c),则当△ABC成为锐角三角形时,c的取值范围是_________________. 如图左图是给出的图形,有图我们找临界点,首先C向上移动不能超过上红线、向下移动不能超过下红线同时,移动过程中∠ACB还会经历一个从小变大再变小的过程,我们还要找到中间的临界点,这道题对于高中阶段解答起来要比初中容易的多(斜率相乘等于-1),也不是不可解。 首先距离公式推导(按下图,AD和BD均用AB坐标来表示出来,不推导出公式也可以,但要会计算d²=(x1-x2)² (y1-y2)²: AB²=AD² BD²=1 25=26 上方临界点:(c-3)² 9 26=4 (c 2)²解得c=3.6 下方临界点:26 4 (c 2)²=(c-3)² 9解得c=-1.6 验证中间临界点:(c-3)² 9 4 (c 2)²=26解得c=2或c=-1。 则可知c点的取值范围被分成了两段-1.6到-1,2到3.6。 几何题先举例此两题 ②函数问题 例: 这是某年北京市中考压轴题,其中第二问的第二小题便是临界问题,需要画图: 蓝线便是临界(一般解题思路是一点点的平移) k值已计算得4,而实际上直线平移过程中与y轴的交点便是(0,b),简单理一下思路: 例:已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0),若二次函数y=x² (a-3)x 3的图像与线段AB只有一个交点,则a的取值范围是( )。 一定要画一画: 明确一点:此二次函数开口向上:那么如果二次函数与x轴只有一个交点,那么此时 (a-3)²-12=0,解得 显然当a=3 2√3时满足题意。 另外:若另一个交点在右侧,一个在其中则有当x=2时y<0,当x=1时,y≥0,即-1≤a<-1/2; 若另个一交点在x轴左侧,一个在其中则有当x=2时y≥0,当x=1时,y<0,此时无解。 所以a的取值范围是a=3-2√3或-1≤a<-1/2。 返回头再看此题实际上需满足x=1和x=2时y的取值异号或其中一个为0即可, 即求(2a 1)(a 1)≤0,且判别式大于等于。 关于临界点或取值范围的题目数不胜数,这里只是简单举例。题目有找的,有临时出的。 |
|