对“傅里叶级数”最优美的诠释

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学过傅里叶级数的朋友对这个公式并不陌生：看上去挺吓人的其实简单优美。

我们现在从另一个角度来看看它的内在原理与本质。

都知道地球绕太阳公转，地球本身也在自转，月亮又绕着地球转。

那么地球和月亮的合成的运动轨迹就是：

地球 月亮相对太阳实在太渺小，近似的看做圆周运动（实际是椭圆轨道）

上述的运动轨迹是地球和月亮的叠加，但包含着傅里叶级数最本质的原理：

先看简单的正弦波（旋转频率ω）：正弦波就是圆周运动轨迹在直线上的投影（横轴是时间）

（看做 sin x函数图形）

增加一个小圆（旋转频率3ω）围绕大圆运动，两个圆的运动轨迹叠加如图（横轴是时间）

（看做 sin 3x sin x函数图形）

在小圆上在增加一个更小的圆（旋转频率5ω），三个圆运动轨迹的叠加如图（横轴是时间）

（看做 sin 5x sin3 x sin x函数图形）

以此增加圆周运动（旋转频率15ω），所有运动轨迹叠加图形

（看做 sin 15x ..... sin x函数图形）

叠加的越多波形越趋于某个稳定图形，

傅里叶级数要处理的就是将这些叠加的图象拆散，分成一个个叠加的单个的三角函数。

一提到旋转首先想到的就是欧拉公式，（前面文章已经阐述欧拉公式的本质就是旋转）

我们先来看几个公式的含义

例如 旋转180度

e^it是1圈/秒时在单位圆上的位置，那e^(i3t)就是3圈/秒时在单位圆上的位置，4是圆的半径

每个旋转都可以用复数来表示，当运动的起始点是1 i的位置时，任意时刻位置就是

旋转一周的面积就是0：很简单的面积计算

用计算机模拟如下的运动规律：每个公式的含义就是前面叙述的，指数的负号是反向运动

总的运动就是这些公式的叠加（公式的颜色对应圆的颜色）

所以总的运动就可写成如下一般通用形式

化简乘以其中的一个负指数

两边积分得到

就得到优美的傅里叶级数指数形式的系数公式：

所以从运动的角度轻而易举得到傅里叶级数的本质原理和优美简洁的公式。