高中数学：构造法是最具活力的数学转化方法

构造法是最具活力的数学转化方法之一，有助于发展同学们的创造思维和探索创新能力。

一、运用正弦定理

例1、化简：

分析：该例是一道常规的三角恒等变形的问题，可构造三角形，借助正弦定理来求解。

解析：如图1所示，作△ABC，使∠A=，∠B=，∠C=，AC=2。

作AD⊥BC于D，则∠BAD=，AD=，，

，。

在△ABC中，由正弦定理得。

所以，

即，

故。

小结：解三角形问题，若能利用图形，可以帮你直观思考，并能使问题的解决变得简捷明快。

 

二、运用余弦定理

例2、设正数x、y、z满足方程组

试求的值。

分析：通过观察方程组中每一个方程的结构，发现它们与余弦定理的结构相似，则可以构造三角形求解。

解析：原方程组即

构造如图2所示的三角形，其中∠AOC=，∠AOB=，∠BOC=，AC=4，AB=5，BC=3，AO=x，BO=，。

因为，

所以，

即。

小结：解决该题的关键在于根据已知条件构建几何模型，进而用几何图形的性质求得代数问题的解。

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