这题之前推送过,但是我觉得这道题很好,所以把它放到这100道题里: 分析: 该题是把向量、解析几何、三角函数融合到一起的题. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由圆的知识以及向量的数量积的坐标运算可得,A,B点在圆x2 +y2 =1上,且∠AOB=60o,其中O是原点,所以|AB|=1,如下图: 而题中问的是A,B两点到直线x+y-1=0距离之和的最大值,如下图所示: 取AB中点E,因为|AB|=1,所以E在以O为圆心,√3/2为半径的圆上,如下图: 过E作直线x+y-1=0的垂线,垂足为F,则|AC|+|BD|=2|EF|, 所以只需求|EF|的最大值,所以|EF|的最大值为(√2+√3)/2,如下图所示: 上述是解析几何的做法,该题从三角函数的角度入手,做法也很漂亮: 设A(cosα,sinα),B(cos(α+π/3),sin(α+π/3)), 由三角函数线的知识,可知cosα+sinα在α是第三象限角的时候小于-1,所以原式取最大值的时候,α以及α+π/3均在第三象限,不妨设π<α<7π/6. 此时原式等于(2-cosα-sinα-cos(α+π/3)-sin(α+π/3))/√2=(2-√6sin(α+5π/12))/√2,该函数最大值为√2+√3,当α=13π/12时取到最大值。注意这儿用到的是辅助角公式,用和差化积会简单点,但是高考不要求,所以学有余力的同学可以去把和差化积、积化和差公式背下来。 第二个这个做法你说是圆的参数方程也行,但其实就是三角函数的定义。很对同学对于三角函数的认识只停留在被动做题的层面,不会主动去寻找角度作为自变量,然后构造三角函数,就没有让三角函数的价值最大化。当然如果对于三角函数公式推导不熟练,想用这个方法做对也的确难于上青天。 |
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