考纲原文1．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 知识点详解一、导数与函数的单调性 一般地，在某个区间(a,b)内： （1）如果 f'(x)>0,函数f (x)在这个区间内单调递增; （2）如果f'(x)<0,函数f (x)在这个区间内单调递减; （3）如果f'(x)=0，函数f (x)在这个区间内是常数函数． 注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； （3）函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0 )在(a,b)内恒成立，且 在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f'(x)=0 ,不影响函数f (x)在区间内的单调性. 二、利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值 一般地，对于函数y=f (x)， （1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,则称x=a为f (x)的极小值点， 叫做函数f (x)的极小值. （2）若在点x=b处有f'(b)=0，且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0 ，则称x=b为f (x)的极大值点， 叫做函数f (x)的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数f(x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为： （1）求f(x)在(a,b)内的极值； （2）将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3．函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言； （2）在函数的定义区间[a,b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具. 解决优化问题的基本思路是： 考向分析 考向一 利用导数研究函数的单调性 1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 f'(x)>0（f'(x)<0)在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x)； （2）确认f ′(x)在(a,b)内的符号； （3）作出结论，f'(x)>0 时为增函数，f'(x)<0时为减函数． 注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点. 3．由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0 (或f'(x)≤0 )( f'(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0 )在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知f(x) 在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围. 4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解. 考向二 利用导数研究函数的极值和最值 1．函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数f(x)极值的方法： ①确定函数f(x)的定义域． ②求导函数f'(x)． ③求方程f'(x)=0的根． ④检查 f'(x)在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极小值；如果f'(x) 在这个根的左、右两侧符号不变，则 fx() 在这个根处没有极值． （3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f'(x),求方程f'(x)=0 的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 2．求函数f (x)在[a,b]上最值的方法 （1）若函数f (x)在[a,b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值． （2）若函数f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （3）函数f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意： （1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用. （2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法： （2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系 1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点. 考向四 生活中的优化问题 1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值. 2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围． |
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