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从行星运行轨道到傅里叶分析级数的诞生 如果有两个圆，其中小圆的半径是大圆半径的一半，小圆上有个小红点，现在让小圆与大圆保持内切并滚动起来。
那么小红点的轨迹是什么？答案就是一条直线，它是13世纪波斯天文学家阿尔丁.图西发现的
今天我们就从早期的宇宙模型到当代傅里叶级数分析，天体的运行轨道就是一个圆的组合叠加运动，月亮绕地球旋转时，如果月亮是动圆上的红点，行星是动圆上的中心，你就会联想到如图轨迹。
如果小圆尺寸不变，将月球向小圆周边移动，月球的轨道就是完美的椭圆形状
如果把动圆半径变为大圆半径的1/3，就会得到一个近似的等边三角形
所以此类任意复杂曲线都可以通过无数种方式画出来，但要达到数学上的精确程度，就需要无数个小圆。如图许多叠加的小圆绘制的图形。
19世纪初法国大数学家傅里叶发表了一篇论文，使得人们对这种复杂运动有了更深层次的认识，这就是傅里叶分析
现在我们由此进入正题，傅里叶级数：首先欧拉公式已经很熟悉了，当角度t从0到2π时，红点的轨迹就是单位圆
红点从0到π时，它的位置就从0移到了-1
注意；红点逆时针绕单位圆一周时，t就是正的。如果顺时针绕单位圆一圈时，t就是负数，即-t
如果用2t代替t，则t从0到2π时，红点逆时针旋转速度加倍，t前面的数字越大旋转越快。
我们将t变为3t，指数系数乘以4，就是沿着半径为4的圆周运动
而这样的描述不但对所有实数成立，它对所有复数也成立，如图表示圆周运动的起点和终点 为1+i，角速度是3rad/
这种复指数项从0到2π的积分是0，直观的理解就是经过圆上每个复数点都会被其反向抵消。
如果你想匀速的画出π的图像，就需要更多的圆周叠加，圆越多，图形越精确。
如图画出图中轮廓，就需要这四个圆按照一定的方式叠加，四个彩色的圆和如下公式的颜色一一对应。圆周运动组合项顶部那个复数项，代表黑色的定位点
仔细观察这些项中复指数部分，蓝色圆对应的指数是1it，紫色圆是-1it，橘色为2it，红色为-2it，规律很明显，接着就是,3，-3, 4，-4，每个整数都出现一次，除了0之外，只是e^0=1,因此无数的圆周运动的和就是这样的。
它是双向的无穷项的和，所以可以写成如下公式，t取值从0到2π，因为闭合曲线起止于同一个复数点，所以该和在0和2π处取值相等。因而和式包含多个周期函数 傅里叶变换将任意周期介于0到2π乘以某复数之间的函数，表示成这种双向无穷复数项之和的形式，看如何计算这些复数函数 要去除c2右边的e^2it，首先在等式两边同时乘以e^-2it 上式化简整理，然后两边积分，方框内的均为0（前面得出的结论）
化简得到：C2
由此也得到Cn的
让我们再次向伟大的傅里叶致敬
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