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高考数学，导数最值题，没有过硬的分类基础，理解了题意也难做出来。题目内容：已知函数f(x)和g(x)，若对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使f(x1)－f(x2)＝0，求实数a的取值范围。 根据本题的题意可知，f(x)的值域包含于g(x)的值域，也就是说，g(x)值域的范围等于或者大于f(x)值域的范围，则本题就转化为讨论函数的值域问题了，而值域问题往往都可以转化为最值问题，顺着这个思路就可以顺利求出实数a的取值范围。本题在求g(x)最值的过程中，要用到大量的分类讨论，分类讨论是高中数学，特别是导数这部分的重要基础，掌握的不好，即使理解了本题的题意和思路，恐怕还是很难做对这道题。  f(x)的值域很容易求出来，是[0，2/3]，这是一个闭区间，所以要使g(x)的值域包含f(x)的值域，只需使g(x)的最小值小于或等于0，且g(x)的最大值大于或者等于2/3，则本题的解题思路就是：先求出g(x)的最小值和最大值，再令g(x)的最小值小于或等于0，同时令最大值大于或者等于2/3，最后解这个不等式组即可。 利用导数求最值，第一步求g(x)的导函数，这里就要见证你的分类讨论的基本功了，导函数是一个二次函数，二次项系数为a，a的符号对影响导函数的符号，同时a的符号决定着导函数方程解的情况，所以一般要分三种情况进行讨论：a＝0、a＜0和a＞0。  先讨论a＝0和a＜0的情况。  再讨论a＞0的情况，此时方程有两个解，其中一个正数解，这个正数解在区间（0,2）内和不在（0,2）内时函数的单调性明显是不同的，所以又要分两种小情况进行讨论：①、正数解不在（0,2）内，即a≥4时；②、正数解在（0,2）内，即0＜a＜4时。下面是第①种小情况。  下面是第②种小情况，其中判断g(x)导函数的符号时，可以借助其图像。最终求出了a的取值范围。  高考数学卷中的导数大题，经常考查分类讨论的数学思想，以及考查学生转化的能力，特别是把其它问题转化为函数最值问题，本题主要考查的就是这两方的知识，难度又适中，值得大家好好研究一下。 高中、高考、基础、提高、真题讲解，专题解析；孙老师数学，全力辅助你成为数学解题高手。加油！ |
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